2018年秋高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第2课时 等差数列的性质学案 新人教a版必修5
7页1、第2课时等差数列的性质学习目标:1.掌握等差数列的有关性质(重点、易错点).2.能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点)自 主 预 习探 新 知1等差数列的图象等差数列的通项公式ana1(n1)d,当d0时,an是一固定常数;当d0时,an相应的函数是一次函数;点(n,an)分布在以d为斜率的直线上,是这条直线上的一列孤立的点思考:由上式可得d,d,你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗?提示等差数列的通项公式可以变形为annd(a1d),是关于n的一次函数,d为斜率,故两点(1,a1),(n,an)直线的斜率d,当两点为(n,an),(m,am)时有d.2等差数列的性质(1)an是公差为d的等差数列,若正整数m,n,p,q满足mnpq,则amanapaq.特别地,当mn2k(m,n,kN*)时,aman2ak.对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1ana2an1akank1.(2)从等差数列中,每隔一定的距离抽取一项,组成的数列仍为等差数列(3)若an是公差为d的等差数列,则can(c为任一常数)是公差为d的等差数列;can(c为任一常数)是
2、公差为cd的等差数列;anank(k为常数,kN*)是公差为2d的等差数列(4)若an,bn分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列panqbn(p,q是常数)是公差为pd1qd2的等差数列(5)an的公差为d,则d0an为递增数列;d0an为递减数列;d0an为常数列思考:若an为等差数列,且mnp(m,n,pN*),则amanap一定成立吗?提示不一定如常数列an,123,而a1a22a3.基础自测1思考辨析(1)若an是等差数列,则|an|也是等差数列()(2)若|an|是等差数列,则an也是等差数列()(3)若an是等差数列,则对任意nN*都有2an1anan2.()(4)数列an的通项公式为an3n5,则数列an的公差与函数y3x5的图象的斜率相等()答案(1)(2)(3)(4)提示:(1)错误,如2,1,0,1,2是等差数列,但其绝对值就不是等差数列(2)错误,如数列1,2,3,4,5其绝对值为等差数列,但其本身不是等差数列(3)正确,根据等差数列的通项可判定对任意nN*都有2an1anan2成立(4)正确因为an3n5的公差d3,而直线y3x5的斜率也是3.2在等差数列a
3、n中,若a56,a815,则a14_.33由题意得d3.a14a86d151833.3在等差数列 an中,已知a3a4a5a6a7450,则a2a8_.【导学号:91432150】180因为a3a4a5a6a75a5450,所以a590,a2a82a5290180.4已知等差数列an中,a7a916,a41,则a12_.15由等差数列的性质得a7a9a4a1216,又a41a1215.合 作 探 究攻 重 难灵活的设元解等差数列已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数.【导学号:91432151】解法一:(设四个变量)设这四个数分别为a,b,c,d,根据题意,得解得或这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二:(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1,公差为d,根据题意,得化简,得解得或这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三:(灵活设元)设这四个数分别为a3d,ad,ad,a3d,根据题意,得化简,得解得这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.规律方法1当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时,可直接设首项为a1,公差为
4、d,利用已知条件建立方程组求出a1和d,即可确定数列2当已知数列有2n项时,可设为a(2n1)d,a3d,ad,ad,a3d,a(2n1)d,此时公差为2d.3当已知数列有2n1项时,可设为and,a(n1)d,ad,a,ad,a(n1)d,and,此时公差为d.跟踪训练1已知五个数成等差数列,它们的和为5,平方和为,求这5个数解设第三个数为a,公差为d,则这5个数分别为a2d,ad,a,ad,a2d.由已知有整理得解得a1,d.当d时,这5个分数分别是,1,;当d时,这5个数分别是,1,.综上,这5个数分别是,1,或,1,.等差数列的实际应用甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图221.甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个 甲乙图221请你根据提供的信息回答问题(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由.【导学号:91432152】思路探究:解决本题关键是构造两个数列:一个是每年的
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