【9A文】全国初中数学竞赛试题及答案

1、【MeiWei_81-优质适用文档】中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）1（甲）如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（）（A）（B）（C）（D）a1（乙）如果，那么的值为（）（A）（B）（C）2（D）2（甲）如果正比例函数y=ax（a0）与反比例函数y=（b0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（3，2），那么另一个交点的坐标为（）（A）（2，3）（B）（3，2）（C）（2，3）（D）（3，2）2（乙）在平面直角坐标系中，满足不等式x2y22x2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）（A）10（B）9（C）7（D）53（甲）如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）（A）1（B）（C）（D）3（乙）如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，ABC是等边三角形，AD=3，BD=5，则CD的长为（）（A）（B）4（C）（D）4.54（甲）小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数

2、将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）44（乙）如果关于x的方程是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）（A）5（B）6（C）7（D）85（甲）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（）（A）（B）（C）（D）5（乙）黑板上写有共100个数字每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）（A）20KK（B）101（C）100（D）99二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）6（甲）按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否487？”为一次操作.如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .6（乙）.如果a，b，c是正数，且满足，那么的值为 7（甲）如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则DMN的面积是 .7（乙）.如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条对角

3、线作矩形OBAC，设直线BC交圆O于D、E两点，若，则线段CE、BD的长度差是 。8（甲）.如果关于x的方程x2+kx+k23k+=0的两个实数根分别为，那么的值为 8（乙）设为整数，且1n20KK.若能被5整除，则所有的个数为 .9（甲）.2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分.比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .9（乙）如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数若和均为三角形数，且abc，则的取值范围是 .10（甲）如图，四边形ABCD内接于O，AB是直径，AD=DC.分别延长BA，CD，交点为E.作BFEC，并与EC的延长线交于点F.若AE=AO，BC=6，则CF的长为 .10（乙）已知是偶数，且1100若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为 三、解答题（共4题，每题15分，共60分）11（甲）已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于求的取值范围11（乙）.如图所示，在直角坐标

4、系xOy中，点A在y轴负半轴上，点B、C分别在x轴正、负半轴上，。点D在线段AB上，连结CD交y轴于点E，且。试求图像经过B、C、E三点的二次函数的解析式。12（甲）.如图，O的直径为，过点，且与O内切于点为O上的点，与交于点，且点在上，且，BE的延长线与交于点，求证：BOC12（乙）如图，O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是ABD的内心.求证：（1）OI是IBD的外接圆的切线；（2）AB+AD=2BD.13（甲）.已知整数a，b满足：ab是素数，且ab是完全平方数.当20KK时，求a的最小值.13（乙）给定一个正整数，凸边形中最多有多少个内角等于？并说明理由14（甲）.求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.14（乙）将，（n2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数（可以相同），使得，求的最小值参考解答一、选择题1(甲).C解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知，且，所以1（乙）B解：2（甲）D解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.2（乙）B解：由题设x2y22x2y，得02.因

5、为均为整数，所以有解得以上共计9对.3（甲）D解：由题设知，所以这四个数据的平均数为，中位数为，于是.3（乙）B解：如图，以CD为边作等边CDE，连接AE.由于AC=BC，CD=CE，BCD=BCA+ACD=DCE+ACD=ACE，所以BCDACE，BD=AE.又因为，所以.在Rt中，于是DE=，所以CD=DE=4.4（甲）D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数.由题设可得消去x得(2y7)n=y+4，2n=.因为为正整数，所以2y7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，74（乙）C解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负由二次函数的图象知，当时，所以，即.由于都是正整数，所以，1q5；或，1q2，此时都有.于是共有7组符合题意5（甲）D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大5（乙）C解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘

6、积不变设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则，解得，二、填空题6（甲）7x19解：前四次操作的结果分别为3x2，3(3x2)2=9x8，3(9x8)2=27x26，3(27x26)2=81x80.由已知得27x26487，81x80487.解得7x19.容易验证，当7x19时，487487，故x的取值范围是7x196（乙）.7解：在两边乘以得即7（甲）8解：连接DF，记正方形的边长为2.由题设易知，所以，由此得，所以.在RtABF中，因为，所以，于是.由题设可知ADEBAF，所以，.于是，.又，所以.因为，所以.7（乙）.解：如图，设的中点为，连接，则因为，所以，8（甲）解：根据题意，关于x的方程有=k240，由此得(k3)20又(k3)20，所以(k3)2=0，从而k=3.此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=.故=8（乙）.1610解：因此，所以，因此所以共有20KK-402=1610个数9（甲）8解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知，由此得0b43.又，所以.于是043，87130，由此得，或.当时，；当时，不合题设.故9（乙）.解：依题意得：，所以，代入（2）得，两边

7、乘以a得，即，化简得，两边除以得所以另一方面：abc，所以综合得另解：可令，由（1）得，代入（2）化简得，解得，另一方面：abc，所以，综合得10（甲）解：如图，连接AC，BD，OD.由AB是O的直径知BCA=BDA=90.依题设BFC=90，四边形ABCD是O的内接四边形，所以BCF=BAD,所以RtBCFRtBAD，因此.因为OD是O的半径，AD=CD，所以OD垂直平分AC，ODBC，于是.因此.由，知因为，所以，BA=AD，故.10（乙）.12解：依题意得由于是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数，即，当1100时，4的倍数共有25个，但要满足题中条件的唯一正整数对，则：，其中p是素数，因此，k只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25，从而这样的n有12个。三、解答题11（甲）解：因为当时，恒有，所以，即，所以（3分）当时，；当时，即，且，解得（8分）设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得因为，所以，解得，或因此（15分）11（乙）.解：因为sinABC=，所以AB=10由勾股定理，得易知，因此CO=BO=6于是，设

8、点D的坐标为由，得所以，解得因此D为AB的中点，点D的坐标为因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为ABC的重心，所以点E的坐标为（也可由直线CD交y轴于点E来求得.）设经过B，C，E三点的二次函数的解析式为将点E的坐标代入，解得a=故经过B，C，E三点的二次函数的解析式为12（甲）证明：连接BD，因为为的直径，所以又因为，所以CBE是等腰三角形（5分）设与交于点，连接OM，则又因为，所以（10分）又因为分别是等腰，等腰的顶角，所以BOC（15分）12（乙）.证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等的性质知：，所以，CI=CD同理，CI=CB故点C是IBD的外心连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA=OC，所以OIAC，即OICI故OI是IBD外接圆的切线（2）如图，过点I作IEAD于点E，设OC与BD交于点F由，知OCBD因为CBF=IAE，BC=CI=AI，所以所以BF=AE又因为I是ABD的内心，所以故也可由托勒密定理得：，再将代入即得结论。13（甲）解：设ab=m（m是素数），ab=n2（n是自然数）.因为(a+b)24ab=(ab)2，所以(2am)24n2=m2，(2am+2n)(2am2n)=m2.（5分）（1）当时，因为2am+2n与2am2n都是正整数，且2am+2n2am2n(m为素数)，所以2am+2nm2，2am

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