量子力学-第四版-卷一-(曾谨言-著)习题答案第5章-2
15页1、5.15参考7.175.15证明schrdinger方程变换在Galileo变换下的不变性,即设惯性参照系的速度相对于惯性参照系运动(沿轴方向),空间任何一点 两个参照系中的坐标满足下列关系:。 (1)势能在两个参照系中的表示式有下列关系 (2)证明schrdinger方程在参照系中表为 在参照系中表为 其中 证:由波函数的统计解释,和的意义完全相同。, 是时刻在点找到粒子的几率密度;,是时刻在点找到粒子的几率密度。但是在给定时刻,给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关,所以相应的几率应相等,即 (6)从(1)式有 (6)由此可以得出, 和两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子,所以 (7) (7)由(1)式, , , (3)式变为: (8)将(7)代入(8)式,可得 (9)选择适当的,使得(9)(4), 。 (10) (10)从(10)可得 。 (11)是的任意函数,将(11)代入(10),可得积分,得 。为积分常数,但时,系和系重合,应等于,即应等于,故应取,从而得到 (12)代入(7)式,最后得到波函数的变换规律: (13)逆变换为 (13)相当于式(13)中的,带的量和不带
2、的量互换。讨论:的函数形式也可用下法求出:因和势能无关,所以只需要比较平面波(自由粒子)在和系中的表现形式,即可确定.沿方向运动的自由粒子,在伽利略变换下,动量、能量的变换关系为 (14)据此,系和系中相应的平面波波函数为, (15)(1)、(14)代入(15),即得此即(13)式,由于这个变换关系仅取决于和系的相对速度,而与粒子的动量无关,所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。5.15证明在伽利略变换下薛定谔方程具有不变性,即设惯系K以速度v相对于惯性系K(沿x轴正方向)运动时,空间任何一点,两座标系中的坐标满足:x=x+vt y=y z=zt=t势能在KK两坐标系中的表示式有下列关系V(x,t)=V(x-vt,t)=V(x,t) 证明若在K中薛定谔方程式是 则在K中:其中: 证明从伽利略变换定义可知,在式中当t=0时,x=x,t=t,因此在时刻t=0一点的波函数与相重合,这个关系和5.1的海森伯,薛定谔表象变换:为普遍起见,我们假设K,K间的变换用一未知的么正算符表示。关于这一点也可以用变换前后的几率相等来解释。 逆变换 从知道: 已知在K描写态的波函数满足: 将和的关
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