2019版高考数学一轮复习不等式选讲课时训练选修4

1、选修选修 4545 不等式选讲不等式选讲 第 1 1 课时 绝对值不等式 1. 解不等式 12 时，不等式化为 x1x22x. 解：原不等式等价于 x22x42x . 解得解集为， 解得解集为x|xR R 且 x2 原不等式的解集为x|xR R 且 x2 4. 解不等式 x2|x|20) (1) 当 a1 时，求此不等式的解集； (2) 若此不等式的解集为 R R，求实数 a 的取值范围 解：(1) 当 a1 时，得 2|x1|1, 即|x1| ， 1 2 解得 x 或 x ， 3 2 1 2 不等式的解集为. (， 1 2 3 2，) (2) |ax1|axa|a1|， 原不等式解集为 R R 等价于|a1|1. a2 或 a0. a0， a2. 实数 a 的取值范围是2，) 10. 设函数 f(x)|2x1|x2|. (1) 求不等式 f(x)2 的解集； (2) xR R，f(x)t2t，求实数 t 的取值范围 11 2 解：(1) f(x) x3，x 2，x2，x1， 12，x1， x2. 综上所述，不等式 f(x)2 的解集为x|x1 或 xa 成立，求实数 a 的取值范围

2、3x2x 解：(1) 当 x1 时，由 f(x)x20 得 x2，所以 x； 当1 时，由 f(x)x20 得 x2，所以 x2. 1 2 1 2 综上，不等式 f(x)0 的解集 Dx|0x2 (2) ，由柯西不等式得()2(31)x(2x) 3x2x3 x2x3 x2x 8， 2，当且仅当 x 时取“” ， a 的取值范围是(，2) 3x2x2 3 22 第 2 2 课时 不等式证明的基本方法 1. 已知 x1，y1，求证：x2yxy21x2y2xy. 证明：左边右边(yy2)x2(y21)xy1(1y)yx2(1y)x1(1y) (xy1)(x1)， x1，y1， 1y0，xy10，x10. 从而左边右边0， x2yxy21x2y2xy. 2. (2017苏州期末)已知 a，b，x，y 都是正数，且 ab1，求证：(axby) (bxay)xy. 证明：因为 a，b，x，y 都是正数， 所以(axby)(bxay)ab(x2y2)xy(a2b2) ab2xyxy(a2b2)(ab)2xy. 又 ab1，所以(axby)(bxay)xy. 当且仅当 xy 时等号成立 3. 已知 x

3、，y，zR R，且 x2y3z80.求证：(x1)2(y2)2(z3)214. 证明：因为(x1)2(y2)2(z3)2(122232) (x1)2(y2)3(z3)2 (x2y3z6)2142， 当且仅当，即 xz0，y4 时，取等号， x1 1 y2 2 z3 3 所以(x1)2(y2)2(z3)214. 4. 已知函数 f(x)|2x1|x1|，函数 g(x)f(x)|x1|的值域为 M. (1) 求不等式 f(x)3 的解集； (2) 若 tM，求证：t21 3t. 3 t (1) 解：依题意，得 f(x)于是得 f(x)3或 3x，x 1. 2x，1x1 2， 3x，x 1 2， ) x 1， 3x 3) 或解得1x1.即不等式 f(x)3 的解集为x|1x1 1x1 2， 2x 3 ) x 1 2， 3x 3，) (2) 证明：g(x)f(x)|x1|2x1|2x2|2x12x2|3， 当且仅当(2x1)(2x2)0 时，取等号，M3，) 原不等式等价于 t23t1 . 3 t t33t2t3 t （t3）（t21） t tM，t30，t210. 0.t21 3t. （t3

4、）（t21） t 3 t 5. (2017苏、锡、常、镇二模)已知 a，b，c 为正实数，求证：abc. b2 a c2 b a2 c 证明： a，b，c 为正实数， a2b，b2c，c2a， b2 a c2 b a2 c 将上面三个式子相加得 abc2a2b2c， b2 a c2 b a2 c abc. b2 a c2 b a2 c 6. 设 a1，a2，a3均为正数，且 a1a2a31，求证：9. 1 a1 1 a2 1 a3 证明：因为 a1，a2，a3均为正数，且 a1a2a31，所以(a1a2a3) 1 a1 1 a2 1 a3 3(a1a2a3) 39(当且仅当 a1a2a3时等号成立)，所以 ( 1 a1 1 a2 1 a3) 1 3 ( 1 a1 1 a2 1 a3) 1 3 9. 1 a1 1 a2 1 a3 7. 已知正数 x，y，z 满足 x2y3z1，求 的最小值 1 x 2 y 3 z 解： (x2y3z) 1 x 2 y 3 z ( 1 x 4 2y 9 3z) 149 2y x 3z x 4x 2y 12z 2y 9x 3z 18y 3z 1422236，

5、 2y x 4x 2y 3z x 9x 3z 12z 2y 18y 3z 当且仅当 xyz 时等号成立， 1 6 的最小值为 36. 1 x 2 y 3 z 8. 已知 x0，y0，z0 且 xyz1，求证：x3y3z3xyyzzx. 证明： x0，y0，z0， x3y3z33xyz. 同理 x3y313xy，y3z313yz，x3z313xz. 将以上各式相加，得 3x33y33z333xyz3xy3yz3zx. xyz1， x3y3z3xyyzzx. 9. 已知 a，b，c 均为正数，且 a2b4c3.求的最小值，并指出 1 a1 1 b1 1 c1 取得最小值时 a，b，c 的值 解： a2b4c3， (a1)2(b1)4(c1)10. a，b，c 为正数， 由柯西不等式得(a1)2(b1)4(c1)(12)2. ( 1 a1 1 b1 1 c1)2 当且仅当(a1)22(b1)24(c1)2时，等式成立 ， 1 a1 1 b1 1 c1 116 2 10 2(c1)2(c1)4(c1)10， 2 c，b，a. 85 2 7 15 217 7 2310 2 7 10. 已知 abc1，a，b，c0.求证： (1) abc； 1 27 (2) a2b2c2. 3 abc 证明：(1) abc3，而 abc1abc，当且仅当 abc 时取等 3 abc 1 27 1 3 号 (2) 由柯西不等式得 a2b2c2 (abc)2 ，由(1)知 ， 1 3 1 3 3 abc 1 3 a2b2c2，当且仅当 abc时取等号 3 abc 11. 已知函数 f(x)，g(x).若存在实数 x 使 f(x)g(x)a 成立，求 3x614x 实数 a 的取值范围 解：存在实数 x 使 f(x)g(x)a 成立， 等价于 f(x)g(x)的最大值大于 a. f(x)g(x) 3x614x 1， 3x214x 由柯西不等式得，(1)2(31)(x214x)64， 3x214x f(x)g(x)8，当且仅当 x10 时取等号 3x614x 故实数 a 的取值范围是(，8)

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