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2019届高三数学（理）人教版一轮训练：第二篇第11节第二课时　利用导数研究函数的极值与最值

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1、第二课时利用导数研究函数的极值与最值【选题明细表】知识点、方法题号利用导数研究函数极值 1,3,4,8,9,10 利用导数研究函数最值 2,5,7,12 利用导数研究函数极值、最值的综合应用 6,11,13,14 基础巩固(时间:30 分钟) 1.若函数 f(x)的导函数 f(x)的图象如图所示.则( C ) (A)1 是最小值点 (B)0 是极小值点 (C)2 是极小值点 (D)函数 f(x)在(1,2)上单调递增解析:由题干图象得 f(x)在(-,0)上递增,在(0,2)上递减,在 (2,+)上递增, 所以 2 是极小值点, 故选 C. 2.函数 y=xe-x,x0,4的最小值为( A ) (A)0(B)(C)(D) 解析:f(x)=, 当 x0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增, 当 x(1,4时,f(x)0,所以当 x=0 时,f(x)有最小值,且最小值为 0. 故选 A. 3.(2017湖南永州二模)函数 f(x)=aex-sin x 在 x=0 处有极值,则 a 的值为( C ) (A)-1 (B)0(C)1(D)e 解析:f(x)=aex-cos x, 若函

2、数 f(x)= aex-sin x 在 x=0 处有极值, 则 f(0)=a-1=0,解得 a=1, 经检验 a=1 符合题意, 故选 C. 4.(2017四川达州模拟)函数 f(x)=x3+x2+5ax-1 存在极值点的充要条件是( C ) (A)a(B)a 解析:求得导函数 f(x)=3x2+2x+5a, 三次函数 f(x)有极值,则 f(x)=0 有不相等的两个解, 所以 =4-60a0,所以 a0,函数为增函数; 当 x(-3,0)时,f(x)0, x1=,x2=, a0 时,若 f(x)在 x=1 处取最小值, 只需 x10 且 x21,解得 00,解得x0,所以(2a)2- 43(a+6)0,解得 a6. 故选 D. 10.(2017全国卷)若 x=-2 是函数 f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点, 则 f(x)的极小值为( A ) (A)-1 (B)-2e-3 (C)5e-3 (D)1 解析:f(x)=x2+(a+2)x+a-1ex-1 则 f(-2)=4-2(a+2)+a-1e-3=0 得 a=-1, 则 f(x)=(x2-x-1)ex-1, f(x)= (

3、x2+x-2)ex-1, 令 f(x)=0,得 x=-2 或 x=1, 当 x1 时,f(x)0, 当-20,函数是增函数, 函数的最小值为 f(1)=1, F()=-1+e,f(e)=1+.函数的最大值为-1+e. 因为关于 x 的方程 xln x-kx+1=0 在区间,e上有两个不等实根, 则实数 k 的取值范围是(1,1+. 答案:(1,1+ 12.(2017河南洛阳三模)已知函数 f(x)=aln 2x+bx 在 x=1 处取得最大值 ln 2-1,则 a= ,b= . 解析:求导得 f(x)= +b, 函数 f(x)=aln 2x+bx 在 x=1 处取得最大值 ln 2-1, 则 f(1)=0 且 f(1)=ln 2-1, 即解得答案:1 -1 13.(2018吉林白山市模拟)设函数 f(x)=ex-2ax,xR. (1)当 a=1 时,求曲线 f(x)在点(0,f(0)处的切线方程; (2)在(1)的条件下,求证:f(x)0; (3)当 a时,求函数 f(x)在0,2a上的最小值和最大值. (1)解:当 a=1 时,f(x)=ex-2x,f(0)=1, 故切点坐标为(

4、0,1). f(x)=ex-2,故切线的斜率 k=f(0)=-1. 所以切线的方程为 y-1=-x,即 x+y-1=0. (2)证明:在(1)的条件下,令 f(x)=0,则 x=ln 2, 当 xln 2 时,f(x)0,此时函数为增函数; 故当 x=ln 2 时,函数取最小值 2-2ln 2, 因为 2-2ln 20,故 f(x)0 恒成立. (3)解:由于 f(x)=ex-2ax,f(x)=ex-2a, 令 f(x)=0,解得 x=ln 2a0, 当 a,令 M(a)=2a-ln 2a,M(a)=2-=0, 所以 M(a)在(,+)上递增, 又因为 M()=1-ln 1=1, 所以 M(a)=2a-ln 2a0 恒成立, 即有 a,2aln 2a. 所以当 0x0,f(x)单调递增. 即有 x=ln 2a 处 f(x)取得最小值 2a(1-ln 2a); 又因为 f(0)=e0-0=1,f(2a)=e2a-4a2, 令 h(a)=f(2a)-f(0)=e2a-4a2-1, a时,h(a)=2e2a-8a0, h()=e-1-1=e-20, 所以 h(a)=e2a-4a2-1h()0

5、, 所以当 a时,f(2a)f(0), 则有当 a时,f(x)在0,2a上的最大值为 e2a-4a2. 14.已知 f(x)=xex-ax2-x. (1)若 f(x)在(-,-1上单调递增,-1,0上单调递减,求 f(x)的极小值; (2)当 x0 时,恒有 f(x)0,求实数 a 的取值范围. 解:(1)因为 f(x)在(-,-1上单调递增,-1,0上单调递减,所以 f(-1)=0. 因为 f(x)=(x+1)ex-2ax-1,所以 2a-1=0,a=. 所以 f(x)=(x+1)ex-x-1=(x+1)(ex-1), 所以 f(x)在(-,-1上单调递增,-1,0上单调递减,0,+)上单调递增, 所以 f(x)的极小值为 f(0)=0. (2)f(x)=x(ex-ax-1),令 g(x)=ex-ax-1,则 g(x)=ex-a.若 a1,则 x(0,+)时,g(x)0,g(x)为增函数,而 g(0)=0,所以当 x0 时, g(x)0,从而 f(x)0. 若 a1,则 x(0,ln a)时,g(x)0,g(x)为减函数,g(0)=0,故 x(0,ln a)时,g(x)0,从而 f(x)0,不符合题意. 综上,实数 a 的取值范围是(-,1.

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