奥数：最优化问题

1、 第十四讲 最优化问题 我国著名大数学家华罗庚爷爷曾积极推广、普及的“统筹方法”和“优选法“华罗庚曾利用数学知识创造许多优化解决问题的方法。我们所破到的最优化问题，是通过适当规划安排，在许多方案中，寻找一个最合理、最节约、最省事的方案。 典型例题l 例1 妈妈让小明给客人烧开水切茶，洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟。为了使客人早点和上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能切茶了？ 先决条件。这1分钟不能省，而洗茶壶、洗开水杯、拿茶叶等切茶的准备工作都可以放在烧开水的15分钟里完成。 解 最省时间的安排是：纤细开水壶（用1分钟），按着烧开水（用15分钟），在等待水烧开的时间里，可以洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就切茶。这样一共用了16分钟。l 例2 在一条公路上，每隔100其千米有一个仓库，共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两仓库是空的。现在想把所有的货集中存在同一仓库里，如果每吨货物运输1千米需0.5元运费，那么最少要花多少运费才

2、行？ 分析 要做到所花运费最少，必须综合考虑两个因素：（1）运走的货物尽可能少；（2）要运货物运输的路程将可能短。如果考虑第一因素，就要将货物集中在五仓库；如果考虑第二因素，就要将货物集中在四仓库。比较这两种情况，选择运费最少的一种。将货物集中到五号仓库。 解 0.5（10400+20300）=5000（元）l 例3 A、B两批发部分别有电视机70台与60台，甲乙丙三个商店分别需要电视机30台、40台和50台。从A、B两批发部每运一台电视到三个销售店的运费如表所示。如何调运才能使运费最少？ 甲乙丙A207030B3010050分析 该题中供应量70+60=130台，需求量为30+40+50=120台。供求量不等，供大于求。由表可知，由差价可知，A尽量供应给乙，即A给乙40台。接着A应尽可能多地供应给丙，即A供应给丙7040=30（台）。B供应30台给甲，供应5030=20（台）给丙。按此调运方案运费最少。 解 3030+7040+（3030+5020）=5600（元）l 例4 甲、乙两位沙漠探险者要到沙漠深处探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可以携带一个人24天的事物和水

3、，如果允许将部分事物存放于途中，那么其中1人最远可以深入沙漠多少千米？（要求二人都能安全返回出发点）分析 甲、乙两人同时出发向沙漠腹地进发，若干天后，甲返回出发地，这时甲和乙的给养都消耗了相同部分，甲将余下的部分平均分成三成，一份补足乙刚才消耗的给养，另一份存放于甲的返回点，自己携带一份返回，可见甲的给养平均分成了4份，而乙的给养平均分成2份。解244=6（天） 242=12（天） 6+12=18（天） 2018=360（天）l 例5 有10个村，坐落在从县城出发的一条公路（如图，距离单位都是千米），要安装水管，从县城输送自来水供给各村，可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水。粗管每千米用8000元，细管每千米用2000元。把粗管和细管适当搭配，互相连接，可以降低工程的总费用。按你认为最节省的办法，费用应是多少？ 分析 首先考虑全用粗管，因为8000元是2000元的4倍，所有G之后粗管，费用将减少。在F与G之间不论安装粗管还是细管，花的钱一样多。在F之前如果不安装粗管，需要5条以上的细管，费用将增加。因此，工程的设计是：从县城到G安装一条粗管；G和H之间安

4、装三条细管；H与I之间安装两条细管；I与J之间安装一条细管。这样做，工程费用最少。 解 8000（30+5+2+4+2+3+2）+2000（23+23+5）=414000（元）l 例6 仓库内有一批14米长的钢材，现要取出若干根，把它们切割成3米和5米长的50根。如果不计切割时的损耗，最少要从仓库最出多少根钢材？ 分析 因为14=33+5，所有把每根14米的钢材切割成3根3米和1根5米的最少料。但是这种“最优方案”会导致3米的大大多于5米的，不符合各50根的要求，于是应该想到13=5+5+3，即把14米的钢材切割成2根多5米的和1根3米的，每用一根钢材仅浪费1米的“次优方案”，这一方案中5米的多于3米的，因把“最优方案”与“次优方案”切割了Y根。 按“最优方案”可得3X根3米的，X根5米的；按“次优方案”可得Y根3米的，2Y根5米的。根据3米的与5米的根数相等，可得： 3X+Y=X+2Y 得2X=Y因为3X+Y=50，所以3X+2X=5X，解之得X=10，这样Y=20，也就是说最少要从仓库取出10+20=30（根）钢材。在我国古代数学著作孙子算经中，记载了这样一道题：“今有物不知其数，

5、三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?这一问题及其解法，被中外数学家称之为”孙子定理“，也称为”中国剩余定理“。l 例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求满足条件的最小整数”。 分析 这类问题的解题依据是： （1）如果被除数增加（或减少）除数的若干部，除数不变，那么余数仍然是2. 例如：173=5.2 那么17依次加上（或减去）3的倍数，余数仍然是2. （2）如果被除数扩大（或缩小）若干部，除数不变，则余数也扩大（或缩小）相同的倍数。 例如 253=4.3如果将23扩大3倍，余数也扩大3倍变成9（实际余4）。 本题所求的最小的整数要满足三个条件，解答时可先求满足其中一个条件的数，再依次增加条件，最终找到满足所有条件的数。 解 解法一：（1）先找出满足：“除以3余2 ”的最小的数2，再依次加上3的倍数，余数不变：2+3=5,5+3=8. (2)从中找到满足“除以5余3”的最小的数是8，我们再依次加上3和5的公倍数，仍然能满足前两个条件。8+15=23,23+15=38，.(3) 上利数中满足“除以7余2”的最小的数是23.这是同时满足三个条件的最小的整数，如果依

6、次加上3、5、7的公倍，仍然满足这三个条件。 因此，满足条件的最小整数是23 解法二 （1)先找出能不被3、5正处而被7除余1的数：15，能被3、7整除而被5除余1的数：21，能被5、7整除而被3除余1的数：70。 （2）题目中要求的数倍7、5、3除得的余数分别是2、3、2，用它们分别去乘15、21、70，再把积加起来：152+213+702=30+63+140=233、 （3）233是满足条件的数，但不是最小的，从中减去3、5、7的公倍数，使得差小于他们的最小公倍数105，这个差就是满足条件的最小的数：233-1052=23 注 解法一，小学生较易理解和掌握。解法二更科学、简明，但理解起来有难度l 例8 篮子里有若干只鸡蛋，每次去处5只，最最后剩3只；每次去处6只，最后剩下4只；每次去处7只，最后剩1只。篮子里至少有多少只鸡蛋？分析 本题与例1类型相同，鸡蛋的数量除以5余3，除以6余4，除以7余1.求篮子里至少有多少只鸡蛋，也就是求符合条件的最小的数。解 （1）“除以5余3”的最小的数是3，加上5的倍数：8、13、18、23、28（2） 从中找到满足“除以6余4”的最小的数是28，再

7、一次加上5和6的公倍数30：58、88、118、148（3） 上列数中满足“除以7余1”的最小数是148.因此，148就是符合条件的最小的数，即篮子里至少148只鸡蛋。例9 一个数被7除余5，被4除余3，这个数被28除余几？分析 先找出“被7除余5、被4除余3”的最小数，用这个数除以28的余数，就是所求的数。解 （1）“被7除余5”的数有：5、12、19、26（2） 从中找出满足“被4除余3”的最小的数是19，用19依次加上7和4的公倍数28，可以得到所有符合条件的数。（3） 因为1928的余数是19，其他符合条件的数被28除的余数也是19. 因此，这个数被28除余19.例10 再一次讨论会上，与会代表没3人一组，则多1人；每5人一组，则多2人；每7人一组，则多3人。已知与会代表人数350400之间，就是与会代表的人数。解：（1）“被除3余1”的数有：1、4、7（2） 从中找出满足“被5除余2”的最小的数是7，用7依次加上3和5的公倍数15：22、37、52、.（3） 上列数中满足“除以7余3”的最小的数是52.（4） 因为人数在350400之间，所以用52依次加上3、5和7的最小公倍

8、数105;157/262/367、. 那么，与会代表共有367人。例11 在500以内的整数中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大数是多少？ 分析 先找出符合条件的最小的数，再加上4、5和7的公倍数的若干倍，找到500以内最大的数。 解（1）“被除4余3”的数有：3、7.（2）从中找到满足“被5除余2的最小的数是7，用7依次加上4和5的公倍数20:27、47、67、. （3）上列数中满足”除以7余4“的最小的数是67. （4）4、5和7的最小公倍数是140,67+1403=487. 因此，满足条件的最大的数是487.例12 在小于1000的整数中，除以3余2，除以5余2，除以7余4的数共有多少个？ 分析 先找出符合条件的最小的数，再加上3、5和7的公倍数的若干倍，找出1000以内符合条件的最大的数，将若干倍加上1，也就是满足条件的数的个数。 解（1）”被出3余2、被5除余2“的最小数，也就是3和5的最小公倍数加上2： 35+2=17 （2）用17依次加上3和5的公倍数15:32、47、. （3）上列数中满足“除以7余4”的最小的数是32. （4）3,5和7=105,32+1059

9、=977 9+1=10，所以满足条件的数共有10个 “一堆草可供8头牛吃6天，这堆草可供10头牛吃几天?,这个问题分成简单，因为草的问题是固定不变的，于是可以得到，可供12头牛吃：8612=4（天） 但如果将“一堆草”改为“一片正在生长的草地”，此时问题就复杂多了，因为草的总量是在不断变化的（假设其均匀变化）。这类工作总量不固定但均匀变化的问题称为牛吃草问题，由于这类问题首先由牛顿提出的，因而也叫牛顿问题。 此类题，它的解题思路具有一定的规律和模式，只要认真学习，仔细分析，就能掌握方法，正确解答。例13 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？ 分析 如果我们将1头牛1天的吃草量看作1份，则9头牛20天共吃了1920=180份草，而15头牛10天共吃了11510=150份草，同一片牧场原有草的份数相等，产生180150=30份草的差异是由（2010）天中长出的新草，因此可以先求每天新生的草是30（2010）=3（份），再从吃草总量中减去一共新生的草，就是牧场上原有的草，由于每天都新生出3份的草量，可供3头牛吃，所以18头牛中只有（183）头牛在吃原有草，原有草可供（183）头牛吃几天，就是所求的问题。 解 （1） 每天新生的草：

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