吉林省长春市2019年高三质量监测（四）数学（文）试题（解析版）

1、长春市长春市 20192019 年高三质量监测（四）年高三质量监测（四） 文科数学文科数学 本试卷共本试卷共 4 4 页，考试结束后，将答题卡交回。页，考试结束后，将答题卡交回。 注意事项：注意事项： 1.1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考 生信息条形码粘贴区。生信息条形码粘贴区。 2.2. 选择题必须使用选择题必须使用 2B2B 铅笔填除；非选择题必须使用铅笔填除；非选择题必须使用 0.50.5 毫米黑色字迹的签字笔毫米黑色字迹的签字笔 书写，字体工整，笔迹清楚。书写，字体工整，笔迹清楚。 3.3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案 无效；在草稿纸、试卷上答题无效。无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4.4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，弄皱，不准使

2、用涂改液、修正带、刮纸保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸 刀。刀。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . 1.是的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用充要条件的判定判断方法判断即可 【详解】因为“” ，则“” ；但是“”不一定有“”. 所以“” ，是“”成立的充分不必要条件 故选 A. 【点睛】充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法： 定义法：若，则 是 的充分条件， 是 的必要条件； 构造命题法：“若 ，则 ”为真命题，则 是 的充分条件， 是 的必要条件； 数集转化法： ：， ：，若，则 是 的充分条件， 是 的必要条件. 2.学校先举办了一次田径运动会，某班共有 8 名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有 12 名同学参赛，两次运动会都参赛的有 3 人.两次运动会中，这个班总共的参赛

3、人数为（ ） A. 20B. 17C. 14D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】 两次运动会总人数减去两次运动会都参加的人数，即为所求结果. 【详解】因为参加田径运动会的有 8 名同学，参加球类运动会的有 12 名同学，两次运动会都参加 的有 3 人， 所以两次运动会中，这个班总共的参赛人数为. 故选 B 【点睛】本题主要考查集合中元素个数的问题，熟记集合之间的关系即可，属于基础题型. 3.圆 ：被直线截得的线段长为（ ） A. 2B. C. 1D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离 ，再由弦长，即可得出结果. 【详解】因为圆 ：的圆心为，半径； 所以圆心到直线的距离为， 因此，弦长. 故选 D 【点睛】本题主要考查求圆被直线所截弦长问题，常用几何法处理，属于常考题型. 4.下列椭圆中最扁的一个是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 只需分别计算各选项中 的值， 越小，椭圆越扁，进而可得出结果. 【详解】由得；由得；由得；由得 ； 因为， 所以最扁的椭圆为. 故选 B 【点睛】本题主要考查椭圆的特征，熟记椭圆的简单

4、性质即可，属于基础题型. 5.已知向量，其中，则的最小值为（ ） A. 1B. 2C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 由得到，化简整理即可得出结果. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，故的最小值为. 故选 A 【点睛】本题主要考查向量模的计算，熟记公式即可，属于常考题型. 6.设是各项均不为 0 的等差数列的前 项和，且，则等于（ ） A. 1B. 3C. 7D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】 先由题意可得，进而可求出结果. 【详解】因为是各项均不为 0 的等差数列的前 项和，且， 所以，即，所以. 故选 C 【点睛】本题主要考查等差数列前 项和的相关计算，熟记前 项和公式以及性质即可，属于基础 题型. 7.已知，若，则（ ） A. B. C. 2D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据题中条件求出，再将代入解析式，即可得出结果. 【详解】因为， 所以，因此，故； 所以. 故选 B 【点睛】本题主要考查函数求值问题，根据题意先求出参数，进而可求出结果，属于常考题型. 8.小明和小勇玩一个四面分别标有数字 1，2，3，4 的正四面体形玩具，每人抛掷一次，则两次朝

5、 下面的数字之和不小于 5 的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 用列举法分别列举出总的基本事件、以及满足题中条件的基本事件，基本事件个数之比即为所求 结果. 【详解】用表示两次朝下面的数字的结果： 由题意可得可能出现的结果有： ， ， 共 16 个基本事件； 满足“两次朝下面的数字之和不小于 5”的基本事件有： ，共 10 个基本事件， 所以两次朝下面的数字之和不小于 5 的概率为. 故选 C 【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型. 9.某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要 有： 结伴步行， 自行乘车， 家人接送， 其他方式，并将收集的数据整理绘 制成如下两幅不完整的统计图. 根据图中信息，求得本次抽查的学生中 类人数是（ ） A. 30B. 40C. 42D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】 根据所给的图形，计算出总人数，即可得到 A 的人数 【详解】解：根据选择 D 方式的有 18 人，所占比例为 15%，得总人数为120 人， 故选择 A 方式的人数为 120423

6、01830 人 故选：A 【点睛】本题考查了条形图和饼图的识图能力，考查分析问题解决问题的能力 10.海岛算经是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海 岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着 地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合， 问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个三丈高的标杆和，之间距离为 步，两标杆的底端与海岛的底端 在同一直线上，从第一个标杆 处后退 123 步，人眼 贴地面，从地上 处仰望岛峰，三点共线；从后面的一个标杆 处后退 127 步，从地上 处 仰望岛峰，三点也共线，则海岛的高为（ ）(古制：1 步=6 尺，1 里=180 丈=1800 尺 =300 步) A. 步B. 步C. 步D. 步 【答案】A 【解析】 【分析】 根据“平行线法”证得，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求 解线段的长度. 【详解】因为，所以，所以； 又，所以，所以； 又，所以， 即，所以步， 又，所以步. 故选 A 【点睛】本题主要考查解三角形的实际应用，属于常

7、考题型. 11.已知定义在非零实数集上的奇函数，函数与图像共有 4 个交点， 则该 4 个交点横坐标之和为（ ） A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 先由函数是奇函数，得到的对称中心，再根据得到的 对称中心，由对称性，即可得出结果. 【详解】因为函数是奇函数，关于点中心对称； 所以函数关于点中心对称； 又由得到， 即函数的对称中心为， 因此，点也是函数的一个对称中心； 由函数与图像共有 4 个交点， 交点横坐标依次设为且， 所以由函数对称性可知， 因此. 故选 D 【点睛】本题主要考查函数对称性、以及奇偶性的应用，熟记概念以及三角函数性质，即可求解， 属于常考题型. 12.已知抛物线 ：的焦点为 ，过 且倾斜角为的直线与抛物线 交于 、 两点， 若、的中点在 轴上的射影分别为， ，且，则抛物线 的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设 AF,FB 的中点分别为 D,E, 求出|AB|=16，再利用直线和抛物线的方程利用韦达定理求出 p 的值， 即得抛物线的准线方程. 【详解】设 AF,FB 的中点分别为 D,E,则|A

8、B|=2|DE|, 由题得|DE|=所以|DE|=8,所以|AB|=16， 设，则， 联立直线和抛物线的方程得， 所以， 所以抛物线的准线方程为. 故选：D 【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的定义和准线方程，意在考查学生对 这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分。分。 13.已知复数，则 的模等于_，它的共轭复数为_. 【答案】 (1). . (2). . 【解析】 【分析】 先由复数的乘法运算，化简复数 ，进而可求出 的模，以及 的共轭复数. 【详解】因为， 所以，. 故答案为(1). . (2). . 【点睛】本题主要考查求复数的模以及复数的共轭复数的问题，熟记公式以及运算法则即可，属 于常考题型. 14.已知 、 为两个单位向量，且，则 与夹角的余弦值为_ 【答案】. 【解析】 【分析】 先求出复数的模，再由向量夹角公式，即可求出结果. 【详解】因为 、 为两个单位向量，且， 所以， 设 与夹角为 ， 则 故答案为 【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记平面向量数量积的运算以及

9、夹角公式即可，属于常考 题型. 15.已知，满足，则的最大值为_ 【答案】3. 【解析】 【分析】 先由约束条件作出可行域，再将目标函数化为，令，结合图像求出 的最大值即可. 【详解】由约束条件作出可行域如下： 又，令，则 表示可行域内的点与定点连线的斜率， 由图像可知：斜率最大， 由得， 所以， 因此，的最大值为. 故答案为 3 【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，结合目标函数的几何意义 求解，属于常考题型. 16.一个倒置圆锥形容器，底面直径与母线长相等，容器内存有部分水，向容器内放入一个半径为 1 的铁球，铁球恰好完全没入水中（水面与铁球相切）则容器内水的体积为_ 【答案】. 【解析】 【分析】 先由题意作出轴截面，根据圆锥的底面直径与母线长相等，得到，再记铁球的半径为 ，得，求出圆锥的高，以及圆锥底面圆半径，最后由，即可求出结果. 【详解】如图所示，作出轴截面， 由题意，圆锥的底面直径与母线长相等，可得，则，所以， 记铁球的半径为 ，即，在中，则，所以 ，因此， 所以铁球所在圆锥的体积为， 即. 故答案为 【点睛】本题主要考查圆锥内切球的相关计算，熟记体积公式即可，属于常考题型. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第 17172121 题为题为 必考题，每个试题考生都必须作答必考题，每个试题考生都必须作答. .第第 22222323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分. . 17.已知函数的图像与直线的交点中距离最近的两个交点距离为 . （）求函数的解析式； （）求函数在上的值域. 【答案】 （） .（）. 【解析】 【分析】 （）先由题中条件，得到相距最近的两个点横坐标满足，再由距离最近的两个 交点距离为 ，得到，进而可求出 ，进而可得出结果. （）根据，求出，再结合正弦函数的值域即可得出结果. 【详解】解：（）由题

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