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江苏省常州市2017届高三数学一模试卷 有答案

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    • 1、1 2017 年江苏省常州市高考数学一模试卷年江苏省常州市高考数学一模试卷 一一.填空题:本大題共填空题:本大題共 14 小败,每小題小败,每小題 5 分,共分,共 70 分分.不需要写出解答过程不需要写出解答过程 1已知集合 U=1,2,3,4,5,6,7,M=x|x26x+50,xZ,则UM= 2若复数 z 满足 z+i=,其中 i 为虚数单位,则|z|= 3函数 f(x)=的定义域为 4如图是给出的一种算法,则该算法输出的结果是 5某高级中学共有 900 名学生,现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取 1 个容量为 45 的样 本,其中高一年级抽 20 人,高三年级抽 10 人,则该校高二年级学生人数为 6已知正四棱锥的底面边长是 2,侧棱长是,则该正四棱锥的体积为 7从集合1,2,3,4中任取两个不同的数,则这两个数的和为 3 的倍数的槪率为 8在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y2=8x 的焦点恰好是双曲线=l 的右焦点,则 双曲线的离心率为 9设等比数列an的前 n 项和为 Sn,若 S3,S9,S6成等差数列且 a2+a5=4,则 a8的值为 10在平面直角坐标系

      2、xOy 中,过点 M(1,0)的直线 l 与圆 x2+y2=5 交于 A,B 两点,其中 A 点在第一象限,且=2,则直线 l 的方程为 11在ABC 中,已知 AB=1,AC=2,A=60,若点 P 满足=+,且=1,则实数 的值为 12已知 sin=3sin(+) ,则 tan(+)= 13若函数 f(x)=,则函数 y=|f(x)|的零点个数为 2 14若正数 x,y 满足 15xy=22,则 x3+y3x2y2的最小值为 二二.解答题:本大题共解答题:本大题共 6 小题,共计小题,共计 90 分分 15在ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边若 acosB=3,bcosA=l,且 AB= (1)求边 c 的长; (2)求角 B 的大小 16如图,在斜三梭柱 ABCA1B1C1中,侧面 AA1C1C 是菱形,AC1与 A1C 交于点 O,E 是棱 AB 上一点,且 OE平面 BCC1B1 (1)求证:E 是 AB 中点; (2)若 AC1A1B,求证:AC1BC 17某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门 BADC (如图) ,设计 要求彩门的面

      3、积为 S (单位:m2)高为 h(单位:m) (S,h 为常数) ,彩门的下底 BC 固定 在广场地面上,上底和两腰由不锈钢支架构成,设腰和下底的夹角为 ,不锈钢支架的长度和 记为 l (1)请将 l 表示成关于 的函数 l=f() ; (2)问当 为何值时 l 最小?并求最小值 18在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆+=l (ab0)的焦距为 2,离心率为, 椭圆的右顶点为 A (1)求该椭圆的方程: (2)过点 D(,)作直线 PQ 交椭圆于两个不同点 P,Q,求证:直线 AP,AQ 的 斜率之和为定值 3 19己知函数 f(x)=(x+l)lnxax+a (a 为正实数,且为常数) (1)若 f(x)在(0,+)上单调递增,求 a 的取值范围; (2)若不等式(x1)f(x)0 恒成立,求 a 的取值范围 20己知 n 为正整数,数列an满足 an0,4(n+1)an2nan+12=0,设数列bn满足 bn= (1)求证:数列为等比数列; (2)若数列bn是等差数列,求实数 t 的值: (3)若数列bn是等差数列,前 n 项和为 Sn,对任意的 nN*,均存在 mN*,使得

      4、8a12Sna14n2=16bm成立,求满足条件的所有整数 a1的值 四四.选做题本题包括选做题本题包括 A,B,C,D 四个小题,请选做其中两题,若多做,则按作答的前两题评四个小题,请选做其中两题,若多做,则按作答的前两题评 分分A. 选修选修 4 一一 1:几何证明选讲:几何证明选讲 21如图,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3,过 C 作圆的切线 l,过 A 作 l 的垂线 AD,AD 分别与直线 l、圆交于点 D、E求DAC 的度数与线段 AE 的长 选修选修 4-2:矩阵与变换:矩阵与变换 22已知二阶矩阵 M 有特征值 =8 及对应的一个特征向量=,并且矩阵 M 对应的变换 将点(1,2)变换成(2,4) (1)求矩阵 M; (2)求矩阵 M 的另一个特征值 4 选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 23已知圆 O1和圆 O2的极坐标方程分别为 =2, (1)把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 24已知 a,b,c 为正数,且 a+b+c=3,

      5、求+的最大值 四四.必做题:每小题必做题:每小题 0 分,共计分,共计 20 分分 25如图,已知正四棱锥 PABCD 中,PA=AB=2,点 M,N 分别在 PA,BD 上,且= (1)求异面直线 MN 与 PC 所成角的大小; (2)求二面角 NPCB 的余弦值 26设|,n 为正整数,数列an的通项公式 an=sintann,其前 n 项和为 Sn (1)求证:当 n 为偶函数时,an=0;当 n 为奇函数时,an=(1)tann; (2)求证:对任何正整数 n,S2n=sin21+(1)n+1tan2n 5 2017 年江苏省常州市高考数学一模试卷年江苏省常州市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题:本大題共填空题:本大題共 14 小败,每小題小败,每小題 5 分,共分,共 70 分分.不需要写出解答过程不需要写出解答过程 1已知集合 U=1,2,3,4,5,6,7,M=x|x26x+50,xZ,则UM= 6,7 【考点】补集及其运算 【分析】解不等式化简集合 M,根据补集的定义写出运算结果即可 【解答】解:集合 U=1,2,3,4,5,6,7,

      6、M=x|x26x+50,xZ=x|1x5,xZ=1,2,3,4,5, 则UM=6,7 故答案为:6,7 2若复数 z 满足 z+i=,其中 i 为虚数单位,则|z|= 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z,再由复数求模公式计算得答案 【解答】解:由 z+i=, 得=, 则|z|= 故答案为: 3函数 f(x)=的定义域为 x|x且 x1 【考点】函数的定义域及其求法 【分析】根据对数函数的性质以及分母不是 0,得到关于 x 的不等式组,解出即可 【解答】解:由题意得:, 解得:x且 x1, 故函数的定义域是x|x且 x1, 6 故答案为:x|x且 x1 4如图是给出的一种算法,则该算法输出的结果是 24 【考点】伪代码 【分析】模拟程序代码的运行过程,可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 t 的值, 由于循环变量的初值为 2,终值为 4,步长为 1,故循环体运行只有 3 次,由此得到答案 【解答】解:当 i=2 时,满足循环条件,执行循环 t=12=2,i=3; 当 i=3 时,满足循环条件,执行循环 t=23=6,i=4; 当 i=4

      7、 时,满足循环条件,执行循环 t=64=24,i=5; 当 i=5 时,不满足循环条件,退出循环,输出 t=24 故答案为:24 5某高级中学共有 900 名学生,现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取 1 个容量为 45 的样 本,其中高一年级抽 20 人,高三年级抽 10 人,则该校高二年级学生人数为 300 【考点】分层抽样方法 【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为 45 的样本,根据高一年级抽 20 人,高三年级抽 10 人,得到高二年级要抽取的人数,根据该高级中学共有 900 名学生,算出高二年级学生人 数 【解答】解:用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为 45 的样本, 其中高一年级抽 20 人,高三年级抽 10 人, 高二年级要抽取 452010=15, 高级中学共有 900 名学生, 7 每个个体被抽到的概率是= 该校高二年级学生人数为=300, 故答案为:300 6已知正四棱锥的底面边长是 2,侧棱长是,则该正四棱锥的体积为 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】正四棱锥 PABCD 中,AB=2,PA=,设正四棱锥的高为 PO,连结 AO,求出 PO,由 此

      8、能求出该正四棱锥的体积 【解答】解:如图,正四棱锥 PABCD 中,AB=2,PA=, 设正四棱锥的高为 PO,连结 AO, 则 AO=AC= 在直角三角形 POA 中,PO=1 所以 VPABCD=SABCDPO=41= 故答案为: 7从集合1,2,3,4中任取两个不同的数,则这两个数的和为 3 的倍数的槪率为 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】先求出基本事件总数 n=6,再利用列举法求出这两个数的和为 3 的倍数包含的基 本事件个数,由此能求出这两个数的和为 3 的倍数的槪率 【解答】解:从集合1,2,3,4中任取两个不同的数, 基本事件总数 n=6, 8 这两个数的和为 3 的倍数包含的基本事件有:(1,2) , (2,4) ,共 2 个, 这两个数的和为 3 的倍数的槪率 p= 故答案为: 8在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y2=8x 的焦点恰好是双曲线=l 的右焦点,则 双曲线的离心率为 2 【考点】双曲线的简单性质 【分析】求得抛物线的焦点坐标,可得 c=2,由双曲线的方程可得 a=1,由离心率公式可得所 求值 【解答】解:抛物线 y2=8x

      9、的焦点为(2,0) , 则双曲线=l 的右焦点为(2,0) , 即有 c=2, 不妨设 a=1, 可得双曲线的离心率为 e=2 故答案为:2 9设等比数列an的前 n 项和为 Sn,若 S3,S9,S6成等差数列且 a2+a5=4,则 a8的值为 2 【考点】等比数列的通项公式 【分析】利用等比数列的前 n 项和公式和通项公式列出方程组,求出,由此能 求出 a8的值 【解答】解:等比数列an的前 n 项和为 Sn,若 S3,S9,S6成等差数列且 a2+a5=4, , 解得, a8=(a1q) (q3)2=8=2 9 故答案为:2 10在平面直角坐标系 xOy 中,过点 M(1,0)的直线 l 与圆 x2+y2=5 交于 A,B 两点,其中 A 点在第一象限,且=2,则直线 l 的方程为 xy1=0 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】由题意,设直线 x=my+1 与圆 x2+y2=5 联立,利用韦达定理,结合向量知识,即可得 出结论 【解答】解:由题意,设直线 x=my+1 与圆 x2+y2=5 联立,可得(m2+1)y2+2my4=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1=2y2,y1+y2=,y1y2= 联立解得 m=1,直线 l 的方程为 xy1=0, 故答案为:xy1=0 11在ABC 中,已知 AB=1,AC=2,A=60,若点 P 满足=+,且=1,则实数 的值为 或 1 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】根据题意,利

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