理论力学10弯曲的应力分析和强度计算

1、第十章 弯曲的应力分析和强度计算,弯曲的应力分析和强度计算,10-1 弯曲内力剪力和弯矩,一、概述,2,弯曲的应力分析和强度计算,车削工件,3,弯曲的应力分析和强度计算,火车轮轴,4,弯曲的应力分析和强度计算,吊车梁,直杆在与其轴线垂直的外力作用下，轴线成曲线形状的变形 称为弯曲。以弯曲变形为主的杆件称为梁。,5,弯曲的应力分析和强度计算,平面弯曲,MZ,截面特征：杆具有纵向对称面，横截面有对称轴（y轴） 受力特点：外力都作用在对称面内，力垂直于杆轴线 变形特点：弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线,6,弯曲的应力分析和强度计算,梁的基本形式,F,q( x),Mx,简支梁,F,q( x),Mx,外伸梁,F,q( x),Mx,悬臂梁,7,弯曲的应力分析和强度计算,火车轮轴简化为外伸梁,8,弯曲的应力分析和强度计算,二、剪力与弯矩,截面法求内力,F,y,=0,c,RA P Q = 01,M,= 0 M + P ( x a ) RA x = 01,Q = RA P1,剪力,M = RA x P ( x a ) 弯矩1,9,弯曲的应力分析和强度计算,剪力符号规定：当剪力使微段梁绕微段内任一点沿

2、顺时针 转动时为正，反之为负。,弯矩符号规定：弯矩使微段梁凹向上为正，反之为负。,10,弯曲的应力分析和强度计算,思考：,梁的内力符号是否和坐标系有关？,答：无关。,如图所示连续梁，和部分的内力情况如何？,A,0,0,E,B,C,F,P D ,X C = P cos ,答：轴力不为零，剪力和弯矩为零。,11,例,1,如图所示为受集中力及均布载荷作用的外伸梁，试求-， -截面上的剪力和弯矩。,解,1、支座约束力,M,M,B,=0,+RA 4 P 2 q 2 1 = 0,A,=0,P 2 RB 4 + q 2 5 = 0,RA = 1.5kN , RB = 7.5kN,12,例,1,2、计算内力,F = 0 MC = 0,y,1,RA Q1 = 0,RA 1 M 1 = 0,M 1 = 1.5kN m,Q1 = 1.5kN,F,x,=0,C2,Q2 q 1 = 0,M,= 0 M 2 + q 1 0.5 = 0,Q2 = 2kN,M 2 = 1kN m,13,弯曲的应力分析和强度计算,三、剪力与弯矩方程 剪力图和弯矩图,设x表示横截面的位置，则梁各截面上的剪力和弯矩可 以表示为坐标x的函数

3、,Q = Q(x),-剪力方程,M = M (x),-弯矩方程,梁的剪力和弯矩随截面位置的变化关系，常用图形来 表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。,14,例,2,如图所示为一受集中力作用的简支梁。设P、l及a均为 已知，试列出剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解 1、求支座约束力,la RA = P l,a RB = P l,2、列剪力方程和弯矩方程,AC段,la Q ( x1 ) = RA = P l,(0 x1 a ),M ( x1 ),la M ( x1 ) = RA x1 =Px1 (0 x1 a ) l,Q( x1 ),15,例,BC段,2,a Q ( x2 ) = RB = P l,(a x2 l ),Q ( x2 ),RB,a M ( x2 ) = RB (l x2 ) = P (l x2 ) l,(a x2 l ),3、画剪力图和弯矩图,la P l,M ( x2 ),a (l a ) P l,a P l,16,例,3,m悬臂梁受集中力和集中力偶作用，已知：P，l， = 3Pl 2 试绘剪力图和弯矩图。,解 1、求支座约束力, Fy = 0,RA P = 0,

4、3Pl Pl mA = 0 MA = 0 2 Pl RA = P m A = 2,2、确定剪力、弯矩方程,AC段,l (0 x1 ) Q( x1 ) = RA = P 2 l Pl (0 x1 )M ( x1 ) = RA x1 + mA = Px 1 + 22,17,例,CB段,3,Q( x2 ) = P,l ( x2 l ) 2,M ( x2 ) = P (l x2 ),l ( x2 l ) 2,3、画剪力图和弯矩图,18,例,4,如图所示简支梁，已知q，l。试画出剪力图和弯矩图。,解 1、求支座约束力,ql RA = RB = 2,2、确定剪力方程和弯矩方程,ql Q ( x) = qx 2,(0 x 1) l,2,qlqx M ( x) = x 22,(0 x l ),19,3、画剪力图和弯矩图,弯曲的应力分析和强度计算,四、外力与剪力及弯矩间的关系,1、载荷集度、剪力及弯矩间的微分关系,设载荷集度是x的连续函数,q = q (x),规定：向上为正,F,y,=0,Q ( x ) Q ( x ) + dQ ( x ) + q ( x ) dx = 0,dQ ( x ) = q(

5、x) dx,20,弯曲的应力分析和强度计算,dx M c = 0 M ( x) + dM ( x) M ( x) Q ( x)dx q ( x)dx = 0 2,dM ( x) = Q( x) dx,2,d M ( x) = q( x) 2 dx,2、集中力、集中力偶作用处的剪力及弯矩,F,y,=0,Q = P,集中力（包括支座约束力）作用处的两侧 截面上的剪力数值发生突变，且突变值等 于集中力的值,21,弯曲的应力分析和强度计算,工程实际中，所谓的集中力不可能集中于一点，而是 分布在很小的范围内, MC = 0,M = M,M,在集中力偶作用的两个侧面上，弯矩 数值发生突变，且突变值的大小等于集中 力偶的值。,22,弯曲的应力分析和强度计算,3、载荷集度、剪力图及弯矩图图形上的关系,q，Q，M图的线型依次递高一次，若q为水平线，则Q图 将为斜线，而M图则为二次曲线；若q等于零，则Q图将 为水平线，而M图则为斜线。 M图的凹向同q指向，当q指向上方时，q值为正，M对x的 二阶导数大于零，弯矩图将凹向上，反之M图将向下凹曲。 当Q等于零时，M取极值。 集中力作用的截面，Q图有突变，突变值

6、等于集中力的值。 M图上有折点；集中力偶作用的截面，M图有突变，突变 值等于集中力偶的值。,23,例,5,2,m 如图所示外伸梁，已知：q，l， P = ql 3 ， = ql 试画出剪力图和弯矩图。,6 。,解 1、求支座约束力,M,c,=0,2,l 3l qlql l R Al q+=0 2 463 2 2 l l qlql 3l RC l +=0q MA = 0 24 63 2,3 RA = ql 8,11 RC = ql 24,2、分段,分为AB，BC，CD三段,24,例,5,3 RA = ql 8,11 RC = ql 24,3、求端值 利用直接法计算各段 左、右两端截面上的 剪力和弯矩,25,例,5,4、画剪力图和弯矩图,26,弯曲的应力分析和强度计算,五、用叠加法作剪力图和弯矩图,P = ql,当梁上有多个外力作用时 各外力引起的内力互不相 关，因此可以分别计算各 外力所引起的内力，然后 进行叠加-叠加法,27,弯曲的应力分析和强度计算,10-2,纯弯曲梁横截面上的正应力分析,梁弯曲时，横截面上一般有两种内力-剪力和弯矩，这 种弯曲称为横力弯曲。,梁弯曲时，横截面上只有弯

7、矩，而没有剪力，这种弯曲 称为纯弯曲。,28,弯曲的应力分析和强度计算,一、纯弯曲梁的正应力,1、变形方面,实验观察： 纵向线在梁变形后变成弧线，靠 顶面的线缩短，靠底面的线伸长。 横向线在梁变形后仍为直线，但 相对转过了一个角度，且仍然与弯 曲的纵向线保持正交。,平面假设：纯弯曲梁是由无数条纵 向线所组成，变形前处于同一平面 的各纵向线上的点，弯曲变形后仍 处于同一平面内，且纵向线与横截面在变形中保持正交。,29,弯曲的应力分析和强度计算,根据平面假设，由实验观察到的表面现象已推广到 梁的内部，即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面作刚 性转动，靠底部的纵向纤维伸长了，靠顶部的纵向纤维 缩短了，由于变形的连续性，中间必有一层纤维既不伸 长也不缩短，这层纤维称为中性层。中性层与横截面的 交线称为中性轴。,30,弯曲的应力分析和强度计算,a,a,dx dx,线应变随y按线性规律变化,l,31,弯曲的应力分析和强度计算,2、物理方程,假设纵向纤维在弯曲变形中相互不挤压，且材料在 拉伸及压缩时的弹性模量相等。M,Z,=,y,胡克定律, = E, =E,y,C, min z,y, x max,纯弯

8、曲时的正应力按线性规律变化，横截面中性轴 的正应力为零，在中性轴两侧，一侧受拉应力，一侧受 压应力，与中性轴距离相等各点的正应力数值相等。,32,弯曲的应力分析和强度计算,3、静力学条件, =E,y,F,A,x,=0, dA = FN = 0 , A dA = A E,y, A ydA = 0,dA =,E, A ydA = 0,截面对中性轴的静矩，静矩为零的轴是形心轴。,中性轴通过截面的形心。,33,弯曲的应力分析和强度计算,M,z,=0,y,M = ydA,A, =E,y,M = A yE,1,dA =,E, A y dA,2,M = EI xz,My = 0, A z dA =,E, A z dA = 0, A zydA = 0,横截面对y，z的惯性积，由于y轴为对称轴，故 惯性积为零。 34,弯曲的应力分析和强度计算,M = EI xz,1, =E,y,M = ymax IZ,M =y IZ,-纯弯曲梁横截面正应力计算公式,横截面上的最大正应力发生在离中性轴最远点。, max, max,M = WZ,IZ WZ = ymax,弯曲截面系数,35,弯曲的应力分析和强度计算,二、惯

9、性矩,常见截面的 IZ 和 WZ,64 3 d WZ = 32,圆截面,bh IZ = 12,3,IZ =,d,4,IZ =,D,4,64,(1 ),4,WZ =,空心圆截面,D,3,32,(1 ),4,3,3,bh WZ = 6,矩形截面,2,b0 h0 bh IZ = 1212 3 3 b0 h0 bh WZ = ( ) /(h0 / 2) 1212,36,空心矩形截面,弯曲的应力分析和强度计算,思考：,梁的截面形状如图所示，在平面内作用有正 弯矩，绝对值最大的正应力位置为哪一点？,z,a,b,y,c,37,弯曲的应力分析和强度计算,有一直径为的钢丝，绕在直径为的圆筒上，钢丝仍 处于弹性阶段。此时钢丝的弯曲最大正应力为多少？为了减 少弯曲应力，应增大还是减小钢丝的直径？,M = EI xz,1,D+d = 2,2 EI z M= D+d, max,d M 2= Iz, max,Ed = D+d,38,例,6,受纯弯曲的空心圆截面梁如图所示。已知：弯矩 M = 1kN m ，外径 D = 50mm ，内径d = 25mm 。 试求截面上a，b，c和d点的应力，并画出过a，b两点 直径线和过c，d两点弦线上各点的应力分布情况。,39,例,解,6,M = 1kN m,M =y IZ,D ya = = 25mm 2 d yb = = 12.5mm 2 22 122 1 D d 250 25 2 ) = 21.7 mmyc = ( ) =( 4444,yd = 0,IZ =,64,(D d ) =,4,4,64,(50 25 ) (10 ) = 2.88 10 m,4,4,3 4,7,4,40,例,6,3,M1 10 3ya = 25

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