离散型随机变量的数学期望 (一)
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1、2.3 随机变量的数字特征,第二章,第1课时 离散型随机变量的数学期望,某书店订购一新版图书，根据以往经验预测，这种新书的销售量为40,100,120本的概率分别为0.2,0.7,0.1，这种书每本的进价为6元销售价为8元，如果售不出去，以后处理剩余书每本为5元 为盈得最大利润，书店应订购多少本新书？,找出随机变量的所有可能的取值xi(i1,2，n),求出取每一个值的概率P(xi)pi,列出表格,1,一、离散型随机变量的数学期望 一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，xn，这些值对应的概率是p1，p2，pn，则称E(X)x1p1x2p2xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)它反映了离散型随机变量的平均取值水平 在理解离散型随机变量的数学期望的概念时注意以下三点： (1)数学期望(均值)的含义：数学期望(均值)是离散型随机变量的一个特征数，反映了离散型随机变量取值的平均水平,(2)数学期望(均值)的来源：数学期望(均值)不是通过一次或几次试验就可以得到的，而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值 (3)数学期望(均值)与平均数的区别：数学期望
2、(均值)是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数,二 离散型随机变量数学期望的性质 若YaXb，其中a，b是常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且有E(aXb)aE(X)b. 当b0时，E(aX)aE(X)，此式表明常量与随机变量乘积的数学期望，等于这个常量与随机变量的期望的乘积； 当a1时，E(Xb)E(X)b，此式表明随机变量与常量和的期望，等于随机变量的期望与这个常量的和； 当a0时，E(b)b，此式表明常量的期望等于这个常量,若X是一个随机变量，则E(XE(X)的值为( ) A无法求 B0 CE(X) D2E(X) 答案 B,某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( ) A100 B200 C300 D400 答案 B,四、求离散型随机变量数学期望的方法 (1)求离散型随机变量数学期望的关键在于写出它的分布列，再代入公式E(X)x1p1x2p2xnpn. (2)从离散型随机变量数学期望的概念可以看出，要求期望，必须求出相应取值及概率，列出分布列，再代入公式计算这就要求全面分析各
3、个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，再由此求出各离散型随机变量相应的概率,(3)利用定义求离散型随机变量X的数学期望的步骤： 理解随机变量X的意义，写出X可能取的全部值；求X取每个值的概率；写出X的分布列；由数学期望的定义求出E(X) (4)如果随机变量服从二点分布、二项分布或超几何分布，可直接代入公式求数学期望,某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同) (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率； (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望,在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望 分析 明确随机变量X的取值，计算每个取值的概率，然后列其分布列，最后计算E(X),数学期望的求法,在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某篮球运动员罚球的命中率为0.7，那么他罚球1次得分X的期望是多少？ 分析 首先写出X的分布列，罚球一次可能命中，也可能不中，故服从两点分布 解析 X的分布列为：P(X1)0.7，P(X0)0.3，E(X)10.700.30.7. 方法总结 明确了是两点分布后只要找出成功概率即可,两点分布的期望,答案 A,设某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在他连续射击6次，求击中目标次数的期望 分析 这是一个独立重复试验问题，其击中目标的次数的概率分布属于二项分布，可直接由二项分布的期望得出,二项分布的期望,答案 C,离散型随机变量的均值的性质,方法总结 求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解对于aXb型随机变量的期望，可以利用期望的性质求解，当然也可以先求出aXb的分布列，再用定义求解,对随机变量，若E()3，求E(32) 错解 E(32)3E()9. 辨析 E(ab)aE()b. 正解 E(32)3E()29211.,
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