矩阵论(华中科技大学)课后习题答案

1、习题一习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成 R 上的线性空间 （1） 1 1 ()|0 n ijn nii i VAaa ，对矩阵加法和数乘运算； （2） 2 |, n nT VA ARAA ，对矩阵加法和数乘运算； （3） 3 3 VR；对 3 R中向量加法和如下定义的数乘向量： 3, ,0R kR k； （4） 4 ( )|( )0Vf xf x，通常的函数加法与数乘运算。 解：解： （1） 、 （2）为 R 上线性空间 （3）不是，由线性空间定义，对0有 1=，而题（3）中10 （4）不是，若 k0，则( )0kf x ，数乘不满足封闭性。 2.求线性空间| n nT VARAA 的维数和一组基。 解：解：一组基 100010101 0101000 0000100 0010010 dimW=n(n+1)/2 3.如果 U1和 U2都是线性空间 V 的子空间，若 dimU1=dimU2，而且 12 UU，证明：U1=U2。 证明证明：因为 dimU1=dimU2，故设 12 , r 为空间 U1的一组基， 12 , r 为空间 U2的一组基 2 U ，有 12r X 而 1

2、212rr C ，C 为过渡矩阵，且可逆 于是 1 1212121rrr XC XYU 由此，得 21 UU 又由题设 12 UU，证得 U1=U2。 4.设 111 213 315 A ，讨论向量(2,3,4)T是否在 R(A)中。 解：解：构造增广矩阵 111|2111|2 |213|3011|1 315|4000|0 A 矩阵 A 与其增广矩阵秩相同，向量可由矩阵 A 的 3 个列向量线性表示，在列空间 R(A) 中。 5. 讨 论 线 性 空 间P4x 中 向 量 32 1 1Pxxx， 32 2 23Pxxx， 32 3 452Pxxx的线性相关性。 解：解： 23 123 102 135 (1) 111 124 P P Px x x 而 102102 135011 111000 124000 ，该矩阵秩为 2 所以向量组 P1,P2,P3线性相关。 6.设 m n AR ，证明 dimR(A)+dimN(A)=n。 证明：证明： 12 ( ), n R AL A AA，( )|0, n N AXAXXR 假定 dimR(A)=r，且设 12 , r A AA为 R(A)的一

3、组基 则存在 12 ,(1, ) iiri kkkirn ，其中 12 , iiri kkk不全为零 使 1122 0(1, ) iiriri k Ak Ak AAirn 显然 1 ,11 ,21 , 2 ,12 ,22 , ,1,2, ( ) 100 01 0 001 rrn rrn r rr rr n kkk kkk kkk N A 上述 n-r 个向量线性无关，而 121 ,1,0,0 T s k kk ，sr 不为 N(A)中的向量，否则与 12 , r A AA线性无关矛盾，故 dimN(A)=n-r 所以 dimR(A)+dimN(A)=n 7.设 1130 2121 1152 A ，求矩阵 A 的列空间 R(A)和零空间 N(A)。 解：解：通过矩阵的行初等变换将矩阵 A 化为行阶梯形 11301130 21210141 11520000 A 矩阵 A 的秩为 2，从 A 中选取 1、2 列（线性无关）作为 R(A)的基，于是 ()121,111 TT R AL 由0AX ， 1234 ( ,)TXx x x x，rank(A)=2，有 123 234 3 4 xxx x

4、xx 分别取 34 1,0xx和 34 0,1xx，求得齐次方程0AX 解空间的一组基 14 1 0, 1 1 0 1 TT 所以 A 的零空间为 ()1410, 1101 TT N AL 8.在 2 2 R 中，已知两组基 1 10 00 E ， 2 01 00 E ， 3 00 10 E ， 4 00 01 E 1 01 11 G ， 2 10 11 G ， 3 11 01 G ， 4 11 10 G 求基Ei到基Gi的过渡矩阵，并求矩阵 01 23 在基Gi下的坐标 X。 解：解： 4 123412341234 , i GGGGEEEECCCCCR 由此，得过渡矩阵 0111 1011 1101 1110 C 再由 1234 0101101111 2311110110 xxxx 解得 0123 T X 9.判别下列集合是否构成子空间。 （1） 222 1 ( , , )|1, , ,Wx y zxyzx y zR； （2） 2 2 |, n n WA AI AR ； （3） 3 R中， 2 3123123 0 ( ,)|(0 t Wx x xxxx d ； （4） 4 11 ()

5、|0 mn ijm nij ij WAaa 。 解：解： （1）不是 3 R子空间，对加法及数乘运算不封闭。如取 k=2，(100)T， ( 200 ) T k，而 222 41xyz， 1 kW。 （2）不是子空间，因为 W2中没有零元。 （3） 、 （4）为子空间。 10. 设 1 (1,2,1,0)T， 2 ( 1,1,1,1)T ， 1 (2, 1,0,1)T， 2 (1, 1,3,7)T， 112 ,Wspan ， 212 ,Wspan ，求 12 WW和 12 WW。 解：解：设 12 WW，则 1122 xx且 3142 xx 于是，有 11223142 0xxxx 即 1 2 3 4 11210 21110 11030 01170 x x x x 而 11211121 21110117 11030013 01170000 A 取 4 1x ，得 1234 1,4,3,1xxxx 所以 121212 143WWLL 由于 rank(A)=3 则 12121 ,WWL 11.在矩阵空间 2 2 R 中，子空间 12 11234 34 |0 xx VAxxxx xx ， 21

6、2 ,VL B B，其中 1 10 23 B ， 2 02 01 B ，求 （1）V1的基和维数； （2） 12 VV和 12 VV的维数。 解：解： （1） 1 V中， 122342 234 3434 111 010 001001 xxxxxx Axxx xxxx 令 123 111 010 , 001001 AAA ，可验证 A1，A2，A3线性无关，它们构成空间 V1的一组基，空间 V1 的维数 dimV1=3。 （2） 212 ,VL B B中，B1与 B2线性无关，它们是 V2的一组基，故 dimV2=2，而 V1+V2 = LA1,A2,A3 + LB1,B2 = L A1,A2,A3,B1,B2 在 2 2 R 的标准基 E11，E12，E21，E22下，A1,A2,A3,B1,B2对应的坐标 X1,X2,X3,X4,X5排成矩阵 12345 1111011110 1000201112 0102000132 0013100001 XXXXX 于是 dim(V1+V2)=4，由维数定理 121212 d i m()d i md i md i m()3241VVVVVV 12.设 1 W和 2 W为 n V的子空间， 112 1 (,) |0 n T ni i Wx xxx ， 21212 ( ,) | T nn Wx xxxxx，证明 12n VWW。 证明：证明：对 W1，由 12 0 n xxx，解得 1121 110001010010001 TTT n Xkkk 显然 W1的维数 dimW1=n-1，而向量组 121 11000,10100,10001 TTT n 为 W1的一组基。 对 W2，由 12n xxx，解得 2 11111 T Xk W2的基为1 1 1 11 T ，dimW2=1 于是 12121121 , nn WWLLL 这里 121 1111 1001 d e t (,)00101 0011 n 所 以 121 , n 为 W1+W2的 基 ， 则dim (W1+W2)=n ， 由 维 数 定 理 可 知 12 dim()0WW，故有 12n VWW 13. n R中， 12 (,)T n ， 12 (,)T n ，判别下面定义的实数( ,)

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