宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期第二次模拟考试数学（理）试题（解析版）

1、1 宁夏六盘山高级中学宁夏六盘山高级中学 20192019 届高三年级第二次模拟届高三年级第二次模拟 理科数学试卷理科数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：因为与互为共轭复数， 考点：共轭复数，复数的运算 【此处有视频，请去附件查看】 2.已知全集，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据集合并集运算，先求得，再根据补集定义求得即可。 【详解】因为， 所以 则 所以选 C 【点睛】本题考查了集合并集、补集的运算，属于基础题。 3.等差数列中，则数列的公差为 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：由题已知，则由等差数列可得；。 考点：等差数列的性质。 4.如图为一个圆柱中挖去两个相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何

2、体的体积为（ ） 2 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三视图，还原空间结构体可知是圆柱中挖除了 2 个圆锥，根据数据可求得圆柱体积与两个圆锥的体积， 即可求得该几何体的体积。 【详解】根据三视图，可知原空间结构体为圆柱中挖除了 2 个圆锥 圆柱的体积为 两个圆锥的体积为 所以该几何体的体积为 所以选 C 【点睛】本题考查了三视图的应用，空间几何体的体积计算，属于基础题。 5.若变量满足约束条件，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据线性约束条件作出可行域，将线性目标函数化为直线方程，根据目标函数平移得到最优解，再将最优解 代入目标函数即可得答案。 【详解】因为约束条件，作出可行域如下图所示 3 目标函数可化为函数 由图可知，当直线过时， 直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 1 所以选 A 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题。 6.某小区有排成一排的 个车位，现有 辆不同型号的车需要停放，如果要求剩下的 个车位连在一起，那么 不同的停放方法的种数为（ ） A. B. C.

3、D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分类讨论剩余 4 个车位连在一起的排列方法数即可。 【详解】首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共 7 个， 当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列， 当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列 ， 当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列， 当最右边三辆时，有车之间的一个排列， 总上可知，共有不同的排列法种结果 所以选 B 【点睛】本题考查了排列组合问题的简单应用，注意分类时候做到不重不漏，属于中档题。 7.已知函数 f(x)则下列结论正确的是( ) A. f(x)是偶函数 B. f(x)是增函数 4 C. f(x)是周期函数 D. f(x)的值域为1，) 【答案】D 【解析】 试题分析：作出函数的草图： 知：、均不对，只有正确；故选 考点：分段函数的图象 8.如图是将二进制化为十进制数的程序框图，则判断框内填入的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据二进制位数，需要循环 5 次。每次增加 1，则根据选项即可判断出退出时的条件。 【详解】根据循环体即二进制位数，可知循环体要重复执行 5 次 i 的

4、初始值为 1，每次循环增加 1，所以最后为 5 即当时，继续循环，当 时退出循环 所以选 A 【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，根据循环次数确定判断的条件，属于中档题。 9.已知双曲线 的离心率为 ，焦点为，点 在 上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 5 【分析】 根据双曲线定义，可用 a 表示出与，再由离心率用 a 表示 c，则在中，应用余弦定理可求 得的值。 【详解】双曲线 的焦点为，点 在 上 所以由定义可知, 所以解得与 因为双曲线 的离心率为 ，所以 则中，由余弦定理可得 化简得 所以选 C 【点睛】本题考查了双曲线的定义与性质，余弦定理的简单应用，属于基础题。 10.已知 是所在平面外一点，分别是的中点，若，则异面直线与 所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 连接 AC，取中点 Q，连接 QM、QN，则QNM 即为异面直线 PA 与 MN 的夹角，根据数据关系即可求得 夹角大小。 【详解】根据题意，画出图形如下图所示 连接 AC，取中点 Q，连接 QM、QN 则 ， 则在中，由余弦定理可得 6 所以 所

5、以选 A 【点睛】本题考查了空间异面直线夹角的求法，三角形中位线定理及余弦定理的应用，关键是通过平移得到 异面直线的夹角，属于中档题。 11.定义域为 的奇函数，当时，恒成立，若， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数 ，则根据是奇函数且当时，恒成立得到的单 调性与奇偶性，进而判断大小关系。 【详解】构造函数 因为是奇函数，所以为偶函数 当时，恒成立，即，所以 在时为单调递减函数 在时为单调递增函数 根据偶函数的对称性可知 ， 所以 所以选 D 【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的综合应用，比较函数的大小关系，属于中档题。 12.如图，矩形中边的长为 ，边的长为 ，矩形位于第一象限，且顶点分别位于 轴、 轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】 设，利用得出 a，b 之间的关系，用 a，b， 表示出 B，C 的坐标，代入数量 积公式运算得出关于 的三角函数，利用三角函数的性质求出最大值. 【详解】如图，设， 则 因为 所以 则 所以的最大值为 所以选 B 【点睛】本题考查了平面向量

6、的数量积运算，通过建立坐标系求解是常用方法，属于难题。 二、填空题二、填空题: :本大题共本大题共 4 4 个小题，每题个小题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到红 灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为_ 【答案】 . 【解析】 分析：由题意结合几何关系计算公式整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合几何概型计算公式可知，至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率： . 点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围当考察对象为点，点的活动范 8 围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之 比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比 14.在中，已知，当时，的面积为_. 【答案】 【解析】 由得， 所以，. 考点：平面向量的数量积、模，三角形的面积. 【此处有视频，请去附件查看】 15.设等比数列的前 项和是，若，则_ 【答案】 【解析】 设公比为 q(q

7、0)，由题意知 q1，根据等比数列前 n 项和的性质，得1q33， 即 q32. 于是 . 16.已知点，抛物线的焦点为 ，连接，与抛物线 相交于点，延长，与抛物线 的准线相交于点 ，若，则实数 的值为_ 【答案】 【解析】 依题意可得焦点 的坐标为， 设在抛物线的准线上的射影为 ，连接 由抛物线的定义可知 9 又， ，解得 点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用，考查了学生数形结合思想和转化与化归 思想，设出点在抛物线的准线上的射影为 ，由抛物线的定义可知，再根据题设得到 ，然后利用斜率得到关于 的方程，进而求解实数 的值 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17.设的内角所对边的长分别是，且. （）求 的值； （）求的值. 【答案】 （1）（2） 【解析】 试题分析：（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出 现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变 形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围

8、;（2）在三角兴中，注意隐含条件（3）解 决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式. 试题解析：因为，所以， 1 分 由余弦定理得 ， 3 分 所以由正弦定理可得. 5 分 因为，所以，即. 6 分 （2）解：由余弦定理得 . 8 分 因为，所以 . 10 分 故 . 13 分 考点：正弦定理和余弦定理的应用。 【此处有视频，请去附件查看】 10 18.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图 231 所示 图 231 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立 (1)求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率； (2)用X表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X) 【答案】(1)0.108.(2) 见解析. 【解析】 试题分析：（1）设表示事件“日销售量不低于 100 个”，表示事件“日销售量低于 50 个”，B 表示事件 “在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另一天的日销

9、售量低于 50 个”.因此 可求出，利用事件的独立性即可求出；（2）由题意可知 XB(3,0.6),所以即可 列出分布列，求出期望为 E(X)和方差 D（X）的值. （1）设表示事件“日销售量不低于 100 个”，表示事件“日销售量低于 50 个”，B 表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个”.因此 . . . （2）X 的可能取值为 0,1,2,3.相应的概率为 , , , , 分布列为 X0123 11 P0.0640.2880.4320.216 因为 XB(3,0.6),所以期望为 E(X)=30.6=1.8，方差 D（X）=30.6（1-0.6）=0.72 考点：1.频率分布直方图；2.二项分布. 【此处有视频，请去附件查看】 19.如图，是半圆 的直径， 是半圆 上除外的一个动点，垂直于半圆 所在的平面， ,。 证明：平面平面; 当 点为半圆的中点时，求二面角的余弦值. 【答案】 （1）见解析（2） 【解析】 【分析】 根据圆的性质可知，根据线面垂直得到，从而 B.，所以可证 平面平面。 （2）根据，可得,以 C 为原点，CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，CD 为 z 轴，建立空间直角 坐标系，求得和的法向量，进而得出二面角的余弦值即可。 【详解】 （1）证明：是直径， 平面 平面 ， 是平行四边形， 12 平面 平面 平面平面 （2）依题意，如图所示，建立空间直角坐标系， 则 设面的法向量为 即 设平面的法向量为， 即 ， 二面角是钝角平面角， 二面角的余弦值为 【点睛】本题考查了空间中直线与平面的位置关系，平面垂直的判定，空间向量在立体几何中的用法等，考 查了空间想象能力和计算能力，属于中档题。 20.已知椭圆的离心率为，且过点 求椭圆方程； 设不过原点 的直线与该椭圆交于两点，直线的斜率依次，满足 ，试问：当 变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理 由. 13 【答案】 （1）；（2），证明过程详见解析 【解析】 试题分析：（1）求椭圆的标准方程，就是要确

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