河北省武邑中学2019届高三上学期第二次调研考试数学（理）试题（解析版）

1、1 河北省武邑中学河北省武邑中学 20192019 届高三上学期第二次调研考试数学（理）试题届高三上学期第二次调研考试数学（理）试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 1212 小题，共小题，共 60.060.0 分）分） 1.设 是虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 复数 故选 A 2.已知复数为纯虚数虚数单位 ，则实数 A. 1B. C. 2D. 【答案】B 【解析】 【分析】 ，再根据复数为纯虚数得和，解之即得解. 【详解】为纯虚数， ， ， 故选：B 【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3.设向量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 给已知式子两边同时平方，然后两相减即可. 2 【详解】由已知可得 ， 两束相减可得=1. 故选 A. 【点睛】本题考查向量的数量积的运算，属基础题. 4.已知实数a，b满足，则函数的零点所在的区间是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析：由，得， .所以零点在区间. 考点：零点与二分法. 5.下列函数中

2、，其定义域和值域分别与函数 y10lg x的定义域和值域相同的是( ) A. yxB. ylg xC. y2xD. y 【答案】D 【解析】 试题分析:因函数的定义域和值域分别为,故应选 D 考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用 6.已知函数，若函数在区间上有最值，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析：，.当时，在上恒 成立，即函数在上单调递减，函数在区间上无最值；当时，设 ，则，在上为减函数，又 ，若函数在区间上有最值，则函数有极值，即有 解，得.故选 A. 考点：1、函数的最值；2、导数及其应用. 【方法点晴】本题考查导函数的最值导数及其应用，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考 3 查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.本题的关键是利用分类讨论 思想进行解题，即： 当时，在上恒成立，即函数在上单调递减，函数 在区间上无最值；当时，设，则，在 上为减函数，又，若函数在区间上有最值，则函数 有极值，即有解，得. 7.某学校位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活

3、动均需该组织 位同学参加. 假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给 位同学，且所发信息都能收到.则甲同学 收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师 的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率 【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件 A，收到张老师的信息为事件 B，A、B 相互独立， ， 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率 为 故选 C 【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率在求两个事件中至少有一个发生的概率时一 般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率这样可减少计算，保证正确 8.设变量 x，y 满足则 2x+3y 的最大值为 A. 20B. 35C. 45D. 55 【答案】D 【解析】 试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为. 4 考点：线性规划. 9.已知的三边满足条件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】

4、D 【解析】 【分析】 由题意首先求得的值，然后确定的大小即可. 【详解】由可得：， 则，据此可得. 本题选择 D 选项. 【点睛】本题主要考查余弦定理及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10.设，函数，则的值等于 A. 9B. 10C. 11D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出，从而，由此能求出结果 【详解】，函数， 5 故选：C 【点睛】本题考查分段函数值的求法，考查指对数函数运算求解能力，属基础题 11.已知平面向量满足且,则向量 与 夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：选 D 考点：向量夹角 12.设F，B分别为椭圆的右焦点和上顶点，O为坐标原点，C是直线与椭圆在第 一象限内的交点，若，则椭圆的离心率是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据，由平面向量加法法则，则与交点为的中点，故，联立 直线方程与椭圆方程可解得 C 点坐标，而四边形面积用两种方法表示中可得的等量关系，从而中 求得离心率 【详解】根据，由平面向量加法法则，则与交点为的中点，故 ，联立椭圆、直线方程，可得 ， 则 可得

5、故选：A 6 点睛：本题的考查的知识点是椭圆的简单性质，其中求出 C 点的坐标，是解答本题的关键属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题，共小题，共 20.020.0 分）分） 13.曲线 ye5x2 在点(0，3)处的切线方程为_ 【答案】. 【解析】 【分析】 先利用导数求切线的斜率，再写出切线方程. 【详解】因为 y5e5x，所以切线的斜率 k5e05，所以切线方程是：y35(x0)，即 y5x3. 故答案为：y5x3. 【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和函数的求导，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理 能力.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是 14.不等式的解集是_ 【答案】 【解析】 分析：把不等式化为同底的不等式，利用指数函数的单调性即可求解 详解：原不等式可以化为，所以，故或者， 不等式的解集为，填 点睛：一般地，对于不等式， （1）如果，则原不等式等价于 ； （2）如果，则原不等式等价于 . 15.已知满足约束条件，且的最小值为 2，则常数_ 【答案】2 7 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，

6、化目标函数为直线方程斜截式，由图得到可行域内的最优解，求出最优解的坐标， 然后代入，由 的最小值为 求得 的值。 【详解】满足约束条件作可行域如图： 由可得直线方程 由图可知，当直线过可行域内的点 时， 最小 联立，可得， 在直线上 则，解得 故答案为 【点睛】本题主要考查了简单线性规划，利用图像平行求得目标函数的最值，利用数形结合是解决线性规划 问题中的基本方法，属于基础题。 16.设函数，若存在唯一的正整数，使得，则 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 【分析】 把函数 f(x)变成两个函数，的图像问题。 【详解】设，则， 当时，当或时， 在，上单调递增，在上单调递减， 当时，取得极小值，作出与的函数图象如图： 8 显然当时，在上恒成立，即无正整数解，要使存在唯一的正整数 ，使得，显然， ，即，解得故答案为 【点睛】函数零点问题，恒成立与存在性问题，若能分离参数，则通过分离参数可得出参数的范围，若不能 分离参数，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单， 这也体现了数形结合思想的应用. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 7

7、小题）小题） 17.已知数列的前 项和满足 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前 项和 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】 （）由数列an的前 n 项和 Sn满足 Sn=，利用，能求出数列an的通项 公式 （）推导出，由此利用错位相减法能求出数列bn的前 n 项和 【详解】解：（）当时，；当时，符合上式. 综上，. （）.则， ， 9 ， . 【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2) 在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达 式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解. 18.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的 志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理 暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和 4 名女志愿者 B1，B2，B3

8、，B4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示. （I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率。 （II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX. 【答案】 （1） （2）见解析 【解析】 （I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为 M，计算即得 (II)由题意知 X 可取的值为：.利用超几何分布概率计算公式 得 X 的分布列为 X01234 P 进一步计算 X 的数学期望. 试题解析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为 M，则 (II)由题意知 X 可取的值为：.则 10 因此 X 的分布列为 X01234 P X 的数学期望是 = 【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布 列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用 超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应 用意识、基本运算求解能力等. 19.已知多面体，均垂直于平面， （1 ）证明：平面； （2）求直线与平面所成

9、的角的正弦值 【答案】(1)见解析；（2）直线与平面所成的角的正弦值为. 【解析】 11 【分析】 （1）根据直线与平面垂直的判定定理，要证平面，只需证与平面两条相交直线垂直。 根据已知条件可求与的长度，然后跟据勾股定理可证.。同理可得.，进而可得 平面。 （2）要求直线与平面所成的角的正弦值，应先作角。由条件可得平面 平面 。所以过点作，交直线于点 ，连结. 可知是与平面 所成的角.根据条件可求的三边长，进而可由余弦定理求得 ，然后可求。 进而求得，在中即可求得结果。 【详解】 （1）由得， 所以. 故. 由， 得， 由得， 由，得，所以，故. 因此平面. （2）如图，过点作，交直线于点 ，连结. 由平面得平面平面， 由得平面， 所以是与平面所成的角. 由得， 所以，故. 因此，直线与平面所成的角的正弦值是. 方法二： 12 （1）如图，以 AC 的中点 O 为原点，分别以射线 OB，OC 为 x，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 O-xyz. 由题意知各点坐标如下： 因此 由得. 由得. 所以平面. （2）设直线与平面所成的角为 . 由（）可知 设平面的法向量. 由即可取. 所以. 因此，直线与平面所成的角的正弦值是. 【点睛】立体几何中证明直线与平面垂直，应该利用直线与平面垂直的判定定理。注意直线与直线垂直、直 线与平面垂直、平面与平面垂直之间的互相转化。其中直线与直线垂直是基础，证明直线与直线垂直方法有： 勾股定理；直线与平面垂直的定义；若 等腰三角形三线合一，菱形对角线互 相垂直，等初中几何知识。 20.已知函数其中 ， 为常数且在处取得极值 1 当时，求的单调区间； 2 若在上的最大值为 1，求 的值 【答案】 （1）见解析；（2）或 【解析】 13 【分析】 由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据是的一个极值点，可构造关于 a，b的方程，根据求出b值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于 0 和小于 0 时，x的范围， 可得函数的单调区间；对函数求导，写

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