【100所名校】2019届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中考试数学试题（解析版）

1、2019届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中考试数学试题数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1设全集U=R，集合A=x|x3,B=x|x05，则集合CUAB=Ax|0x3 Bx|0x3Cx|0x3 Dx|0x0,b0的左右焦点分别为F1,F2，P为双曲线C上一点，Q为双曲线C渐近线上一点，P,Q均位于第一象限，且2QP=PF2，QF1QF2=0，则双曲线C的离心率为A3-1 B3+1 C13-2 D13+210如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为边长为2的正三角形，B1在底面的射影为AC中点且B1到底面的距离为3，已知E,F分别是线段AB1与CA1上的动点，记线段EF中点M的轨迹为L，则L等于(注：L表示L的测度，本

2、题中L若分别为曲线、平面图形、空间几何体，分别对应为其长度、面积、体积）A1 B102 C32 D394二、填空题11中国古代数学著作九章算术中有一个这样的问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱，3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯“，则该人每月比前一月多入_贯，第12月营收贯数为_.12y=sin2x+6的最小正周期为_，为了得到函数y=sin2x+6的图象，可以将函数y=cos2x的图象向左最小移动_个单位13已知直线l1:ax+a+2y+1=0,l2:x+ay+2=0，其中aR，若l1l2，则a=_，若l1/l2，则a=_.14已知x,yR，且4x2+y2+xy=1，则4x2+y2的最小值_，此时x的值为_.15已知两不共线的非零向量a,b满足a=2,a-b=1,则向量a与b夹角的最大值是_.16已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1+3a3=S6，给出以下结论：a10=0S10最小S7=S12S19=0，正确的有_.17设函数fx=|12x-4|+1,x1xx-22+a,x1，若存在互不相等的4个实数x1,x2,x3

3、,x4，使得fx1x1=fx2x2=fx3x3=fx4x4=7，则a的取值范围为_.三、解答题18已知函数fx=sinx3cosx3+3cos2x3（1）求函数fx图象对称中心的坐标；（2）如果ABC的三边a,b,c满足b2=ac，且边b所对的角为B，求fB的取值范围19已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an-32n,nN*，bn=an-12n（1）求证：数列bn为等比数列，并求出数列an的通项公式；（2）是否存在实数，对任意m,nN*，不等式Smbn恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由20如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB平面ABCD，PB=PC,ABC=45，点E是线段PA上靠近点A的三等分点（1）求证：ABPC（2）若PAB是边长为2的等边三角形，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值21如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1:x2=2pyp0的焦点，且抛物线C1上点P处的切线与圆C2:x2+y2=1相切于点Q（1）当直线PQ的方程为x-y-2=0时，求抛物线C1的方程；（2）当正数p变化时，记S1,S2分别为FPQ,FOQ的面积，求S

4、1S2的最小值。22已知aR，函数fx=ex-1-ax在点1,1-a处与x轴相切（1）求a的值，并求fx的单调区间；（2）当x1时，fxmx-1Inx，求实数m的取值范围。12019届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中考试数学试题数学 答 案参考答案1D【解析】【分析】先根据补集的定义求出集合A的补集CUA，然后和集合B进行交集运算，可求CUAB【详解】因为A=x|x3，所以CUA =x|x3，所以（CUA）Bx|0x3故选：D【点睛】本题的考点是集合的补集和交集运算，比较基础 2D【解析】【分析】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，根据所提供的数据可求出正方体、锥体的体积，从而得到答案【详解】由三视图知原几何体是一个棱长为2的正方体挖去一四棱锥得到的，该四棱锥的底为正方体的上底，高为1，如图所示：所以该几何体的体积为2313221=203故选：D【点睛】本题考查三视图，考查柱体、锥体的体积计算，解决该类问题的关键是由三视图还原得到原几何体，画三视图的要求为：“长对正，高平齐，宽相等”3B【解析】由题意可得：S9=9a5=45,a5=5，由等差数列的性质可得：a

5、3+a8=a5+a6=5+a6=12,a6=7，该数列的公差：d=a6-a5=2，故a7=a6+d=7+2=9.本题选择B选项.4C【解析】画出可行域如图阴影部分所示，易得在处取得最大值故选C点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5D【解析】【分析】写出分段函数，分段求导后利用导函数的符号或导函数的零点判断函数f（x）的图象的形状【详解】f(x)=x2-ln|x|x=x2-lnxx，x0x2-ln(-x)x，x0，当x0时，f(x)=2x-1-ln(-x)x2=2x3-1+ln(-x)x2令g（x）=2x31+ln（x），由g(x)=6x2+1x=6x3+1x=0，得x=-316，当x（，-316）时，g（x）0，当x（-316，0）时，g（x）0所以g（x）有极大值为g(-316)=2(-316)3-1+ln316=-

6、43-13ln60又x20，所以f（x）的极大值小于0所以函数f（x）在（，0）上为减函数当x0时，f(x)=2x-1-lnxx2=2x3-1+lnxx2令h（x）=2x31+lnx，h(x)=6x2+1x0所以h（x）在（0，+）上为增函数，而h（1）=10，h（12）=34-ln20又x20，所以函数f（x）在（0，+）上有一个零点，则原函数有一个极值点综上函数f（x）的图象为D中的形状故选：D【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.6C【解析】试题分析：对于，若直线m，如果，互相垂直，则在平面内，存在与直线m平行的直线，所以是错误的；对于，若直线m，则直线m垂直于平面内的所有直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线m垂直，所以正确；对于，若直线m，则在平面内，一定存在与直线m垂直的直线，所以是错误的；对于，若直线m，则在平面内，一定存在与直线m垂直的直线，所以是正确的故应选C考点：

7、1、直线与平面之间的位置关系7A【解析】分析：先把cos2+3sin2变形为2sin2+6，而2+6=2-26-，故可以利用诱导公式和二倍角公式求解.详解：因为cos2+3sin2=2sin2+6，故cos2+3sin2=2sin2-26-=2cos26-=2-4sin26-=109，故选A. 点睛：本题考查诱导公式和两角和差的余弦、正弦公式的逆用，属于基础题.解题中注意根据正弦、余弦前面的系数选择合适的辅助角变形，另外在求值过程中注意寻找已知的角和未知的角之间的联系.8B【解析】【分析】设an的公比为q（q0），由等比数列的通项公式化简a7=a6+2a5，求出q，代入aman=16a12化简得m，n的关系式，由“1”的代换和基本不等式求出式子的范围，验证等号成立的条件，由m、n的值求出式子的最小值【详解】设正项等比数列an的公比为q，且q0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+2a6q，化简得，q2q2=0，解得q=2或q=1（舍去），因为aman=16a12，所以(a1qm-1)(a1qn-1)=16a12，则qm+n2=16，解得m+n=6，所以1m+9n=16（m+n）（1m+9n）=16（10+nm+9mn）16(10+2nm9mn)=83，当且仅当nm=9mn时取等号，此时nm=9mnm+n=6，解得m=32n=92，因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1m+9n83，验证可得，当m=2、n=4时，1m+9n取最小值为114，故选：B【点睛】本题考查等比数列的通项公式，利用“1”的代换和基本不等式求最值问题，考查化简、计算能力，注意等号的成立的条件，属于易错题9C【解析】分析：设Qat,btt0，根据F1QF2为直角三角

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