人教版八年级数学下册《第17章勾股定理与逆定理》讲义

1、1 满满分晋分晋级级 OD? 漫画漫画释义释义 三角形 12 级 成比例线段 三角形 11 级 特殊三角形之直角三角形 三角形 10 级 勾股定理与逆定理 暑期班第四讲 秋季班第十一讲 秋季班第十讲 10 勾股定理与逆定理 2 知知识识互互联联网网 思路思路导导航航 勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它 可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很 大。它不仅在数学中，而且在其它自然科学中也被广泛地应用。 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么ab，c 222 abc 直角三角形中常用数： 整数边：；345形形68 10形形5 12 13形形72425形形8 15 17形形94041形形 如果是一组勾股数，那么也是一组勾股数（k 为正数） ；abc形形akbkck形形 含特殊角：和的三角形三边之比分别为和.306090，454590，13 21 12 例例题题精精讲讲 【引例】一旗杆离地面处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆折断之前有多高？6m8m 【解析】如图，设原旗杆底

2、端点为，顶端点，从点处折断，ABC 则由题意可知图中，6mAC 8mAB 90A 在中，RtABC90A ，来源:学科网 222 ACABBC ， 22 10BCACAB 61016h 旗杆折断之前高 16m 典典题题精精练练 题题型一：勾股定理型一：勾股定理 C BA 3 【例 1】 1. 图 1 和图 2 中的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，利用图 1 或图 2 两个图形中 的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该 定理的结论其数学表达式是 其中图 1 是中国数学史上有名的 （数学家的名字）弦图简单写出证明过程 （浙江湖州、新疆中考） 【解析】勾股定理，（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ）赵爽（中国数学家， 222 abc 主要贡献是深入研究了 周髀算经 ，涉及了勾股定理的理论和证明） 证明：大正方形面积=四个全等直角三角形面积+中间小正方形面 积 图 1： 2222 4() 2 ab cbaab 图 2：，即 22 ()4 2 ab abc 222 abc 【点评】勾股定理的证明方法很多，比如可用方格来验证勾股定理等等 2. 如图

3、 1 是一个重要公式的几何解释请你写出这个公式； 如图 2，且三点共线.RtRtABCCDE90BD BCD， 试证明；90ACE 伽菲尔德（Garfield，1881 年任美国第 20 届总统）利用 1 中的公式和图 2 证明了勾股 定理（1876 年 4 月 1 日，发表在新英格兰教育日志上） ，现请你尝试该证明过程 （丰台期末） 【解析】 这个公式为 222 ()2abaabb ，ABCCDEBACDCE 90ACBDCEACBBAC 由于共线，BCD， 所以180ACEACBDCE 1809090 梯形的面积为ABDE ； 2111 222 ABEDBDababab 图 2图 1 a b c a b c a b c a b c a b c ab c a bc c b a C B A ab b a 图 1 a b c c A E D C Bba 图 2 4 另一方面，梯形可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成ABDE 2 111 222 ababc ，即 2 2 1111 2222 abababc 222 abc 3. 勾股证明的方法成百上千种，其中几何原本中的证法非常经典，是

4、在一个我们非常熟 悉的几何图形中实现的（如图所示） ，同学们，如果直角三角形的三边长为ABC （为斜边） ，试利用此图证明.abc形形c 222 abc c b a N M H F E D C B A A B C D E F H M N P G 【解析】如右图可知：22 ADBACFACEDAFGP ACFADBSSSS 形形形形形 形形 ，同理， 2 AFGP bS 形形 2 GHBP aS 形形 222 abc 【探究对象】勾股定理的分类证明 【探究目的】勾股定理是几何学中的明珠，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，有资料表明，关于 勾股定理的证明方法已有 500 余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法，这是任 何定理无法比拟的。下面仅用若干种既简单又著名的证明方法来进行说明以拓展学生思路. 【探究一】以刘徽的“青朱出入图”为代表的“无字证明” “无字证明”不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈 现，整个证明单靠移动几块图形或移动图形就可以得证。 刘徽的证明 c b a 约公元 263 年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍九章算术作注释

5、时，用“出入相补法”证 5 明了勾股定理。如上图，小正方形与较大正方形的面积和与最大正方形的面积之间的等量关系，不依 靠运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理。 拼图证明 上面的两个图形是在印度、阿拉伯和欧洲出现的一种拼图，通过图形的拼凑，可以简洁轻易地证 明勾股定理. 意大利著名画家达芬奇的证法 在一张长方形的纸板上画两个边长分别为 a、b 的正方形，连接 BC、FE，如图 1. 沿 ABCDEF 剪下，得两个大小相同的纸板、，如图 2. 将纸板翻转后与拼在一起，可以得到其他图形，如图 3. 通过剪接翻转拼凑，两个长方形纸板（图 1 和图 2 ）里面的六边形是相等的，从而可以直观地得 到，图 1 和图 3 中的四个三角形是全等的.所以，正方形的面积加上正方形的面积等于正ABOFCDEO 方形的面积，即. BC E F 222 ()()()BOCOBC 【探究二】以欧几里得的证明方法为代表的证明方法 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 图 1 图 2 55 4 4 3 3 2 2 1 1 图 1图 2图 3 6 在欧几里得的几何原本一书中给出勾股定理的以下证明. 设ABC 为

6、一直角三角形，其中 C 为 直角.从 C 点划一直线至对边，使其垂直于对边.延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其 余两个正方形相等. b b c c a a K H G F M L E D C BA 在定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理： 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等.（SAS 定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半. 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积. 任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积 做三个边长分别为的正方形，把它们拼成如图所示形状，使三点在一条直线上，cba、GCB、 连结 BF，CD，AK，CE，过 C 作 CLDE，交 AB 于点 M，交 DE 于点 L ,AFAC ABAD FABCAD FABCAD 的面积等于FAB 2 1 2 a 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半CAD 矩形 ADLM 的面积等于 2 a 同理可证，矩形 MLEB 的面积等于 2 b 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积来源:Zxxk.Com ，即. 222 bac 222 a

7、bc 7 P H G F E D C BA a b c a b c ab c a b c c c c ba c b a A B C E F P Q M N 【探究三】以赵爽的“弦图”为代表的数形结合的证法 这一类证法，运用几何图形的截、割、拼、补，来证明代数式之间的恒等关系. 体现了以形证数、 形数统一、代数和几何的紧密结合。讲义上介绍了赵爽弦图（外弦图） 、内弦图及总统证法。 【探究四】其他证明方法 梅文鼎证明 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那 样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上. 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P. D、E、F 在一条直线上, 且 RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =18090= 90. 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG 是一个边长为 c 的正方形. ABC + CBE = 90. RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD + CBE = 90. 即 CBD=

8、 90. 又 BDE = 90，BCP = 90， BC = BD = a. BDPC 是一个边长为 a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形. 设多边形 GHCBE 的面积为 S，则 , 2 1 2 22 abSba abSc 2 1 2 2 , 222 cba . 项明达证明 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba） ，斜边长为 c. 再做一个 边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点在一条直线上. 过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P. 过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点 F 作 FNPQ，垂足为 N. 8 BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM 是一个矩形，即MBC = 90. QBM + MBA = QBA = 90， ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC， 又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. 同理可证 RtQNF RtAEF. 从而将问题转化为的梅文鼎证

9、明. 【例 2】 如下左图，是一段楼梯示意图，楼梯长米，高为米，若在此楼梯铺地毯，AB5BC3 则地毯的长度至少需要_米 下右图 1 是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成 的 若，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向 外延长一倍，得到图 26AC 5BC 6 所示的“数学风车” ，则这个风车的外围周长是 如果直角三角形的三边长为 10、6、x，则最短边上的高为 已知中，高，则的长为_.ABC13AB 15AC 12AD BC 5 3 C B A 【解析】 347 76 分类讨论：10 为斜边或 x 为斜边， 高为 8 或 10. 分类讨论，如图或 4.14BC 思路思路导导航航 题题型二：勾股定理的逆定理型二：勾股定理的逆定理 图 2 图 1 C B A A BD C C D B A 9 如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形 abc， 222 abc 勾股定理的逆定理通常用来判断直角三角形或证明线段的垂直关系 对于勾股定理逆定理的证明，我们采用构造全等三角形的证明方法来完成 已知：如图，已知的三边满足，ABCabc、 222 abc 求证：是直角三角形ABC

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