弯曲应力正应力

1、材料力学,交通与车辆工程学院 李丽君,伽利略 Galilei (1564-1642),此结论是否正确？,回顾与比较,内力,应力公式及分布规律,均匀分布,线形分布,5-2 纯弯曲时的正应力,5-3 横力弯曲时的正应力 强度条件,5-4 弯曲切应力,5-6 提高梁强度的措施,5-1 纯弯曲,纯弯曲,梁段CD,梁段AC和BD,5-1 纯弯曲,纯弯曲,横力弯曲,纯弯曲实例,5-2 纯弯曲时的正应力,变形几何关系,物理关系,静力学关系,纯弯曲的内力,剪力Fs=0,横截面上没有切应力,只有正应力,弯曲正应力的 分布规律和计算公式,变形几何关系,纵向线,由直线,曲线,横向线,由直线,直线,相对旋转一个角度后，,仍然与纵向弧线垂直。,纵向线的长度,两横截面的夹角,横截面绕某一轴线发生了偏转。,平面假设,变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面；,纵向纤维之间没有相互挤压，,假设：,纵向纤维之间有无相互作用力,各纵向纤维只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。,凹入一侧纤维缩短；,凸出一侧纤维伸长。,观察纵向纤维的变化,在正弯矩的作用下，,纤维长度不变,中性层,中性层,L0,L0,L=0,既不伸长也不缩短,中性轴

2、,中性轴上各点,=0,各横截面绕,中性轴发生偏转。,中性轴的位置,过截面形心,中性轴的特点：,平面弯曲时梁横截面上的中性轴,它与外力作用面垂直；,中性轴是与外力作用面相垂直的形心主轴。,一定是形心主轴；,观察建筑用的预制板的特征，并给出合理解释,为什么开孔？,为什么加钢筋？,施工中如何安放？,孔开在何处？,可以在任意位置随便开孔吗？,托架开孔合理吗？,理论分析,y的物理意义,纵向纤维到中性层的距离；,点到中性轴的距离。,两直线间的距离,公式推导,线应变的变化规律,与纤维到中性层的距离成正比。,从横截面上看：,点离开中性轴越远，,该点的线应变越大。,物理关系,虎克定律,弯曲正应力的分布规律,a、与点到中性轴的距离成正比；,c、正弯矩作用下，,上压下拉；,当P时,沿截面高度,线性分布；,b、沿截面宽度,均匀分布；,d、危险点的位置，,离开中性轴最远处.,弯曲正应力的分布规律,静力学关系,中性轴过截面形心,坐标轴是主轴,中性层的曲率计算公式,EIz,抗弯刚度,弯曲正应力计算公式,变形几何关系,物理关系,静力学关系,正应力公式,弯曲正应力计算公式,横截面上最大弯曲正应力,截面的抗弯截面系数；。

3、,反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响,最大弯曲正应力计算公式,适用条件,截面关于中性轴对称。,现代梁分析理论与伽利略结论对比,科学家与时代同步,伽利略时代钢铁没有出现,但他开辟了理论与实践计算构件的新途径。,是“实验力学”的奠基人,常见图形的惯性矩及抗弯截面系数,横力弯曲,5-3 横力弯曲时的正应力,横截面上内力,剪力+弯矩,横截面上的应力,既有正应力，,又有切应力,横力弯曲时的横截面,横截面,不再保持为平面,且由于切应力的存在，,也不能保证纵向纤维之间没有正应力,纯弯曲正应力公式,弹性力学精确分析表明：,横力弯曲最大正应力,横力弯曲正应力,对于跨度 L 与横截面高度 h 之比 L / h 5的细长梁，,用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力，,误差2%,满足工程中所需要的精度。,弯曲正应力公式适用范围,弯曲正应力公式,1 纯弯曲或细长梁的横力弯曲;,2 横截面惯性积 Iyz=0;,3 弹性变形阶段;,作弯矩图，寻找最大弯矩的截面,分析：,非对称截面，,例 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。,求最大拉应力、最大压应力。,计算最大拉应力、最大压应力,要寻找中性轴位置；,（2）计算应力：,（

4、1）求支反力，作弯矩图,B截面应力分布,9KN,1m,1m,4KN,1m,A,C,B,FA=2.5KN,应用公式,（3）结论,C截面应力计算,应用公式,1 C 截面上K点正应力,2 C 截面上最大正应力,3 全梁上最大正应力,4 已知E=200GPa，C 截面的曲率半径,例 矩形截面简支梁承受均布载荷作用,1 截面几何性质计算,确定形心主轴的位置,确定中性轴的位置,确定形心的位置,2 求支反力,（压应力）,3 C 截面上K点正应力,4 C 截面上最大正应力,5 全梁上最大正应力,弯曲正应力强度条件,危险点：,距离中性轴最远处；,分别发生最大拉应力与最大压应力；,1 塑性材料,抗拉压强度相等,无论内力图如何,梁内最大应力,其强度条件为,通常将梁做成矩形、圆形、工字形等,对称于中性轴的截面；,此类截面的最大拉应力与最大压应力相等。,强度条件可以表示为,无论截面形状如何，,a,对于塑性材料，,b,2 离中性轴最远处。,1 弯矩的绝对值最大的截面上；,塑性材料,C 塑性材料制成的变截面梁,要综合考虑弯矩M与截面形状Iz,梁内最大应力发生在：,3 强度条件为,2 脆性材料,抗拉压强度不等。,内力

5、图形状有关。,梁内最大拉应力与最大压应力分别发生在,最大应力通常与截面形状，,通常将梁做成T形、倒T形等,关于中性轴不对称的截面。,离中性轴最远的最上边缘与最下边缘。,由于脆性材料抗压不抗拉，,或者, 脆性材料梁的危险截面与危险点,上压下拉,上拉下压,b,脆性材料的最大应力与内力图有关,危险截面只有一个。,危险截面处分别校核：,强度条件表达式,危险截面有两个：,每一个截面的最上、最下边缘均是危险点；, 脆性材料梁的危险截面与危险点,各危险截面处分别校核：,四个强度条件表达式,弯曲正应力强度计算的三个方面,1 强度校核,2 设计截面,3 确定许可载荷,例 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。,材料的许用应力,（2）危险截面：,（3）危险点,截面关于中性轴对称,弯矩 最大的截面,抗弯截面系数 最小的截面；,危险截面的最上、下边缘处。,（1）轮轴为塑性材料,（1）计算简图,（2）绘弯矩图,B截面，C截面,（3）危险截面,（4）强度校核,B截面：,C截面：,（5）结论,轮轴满足强度条件,例 某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦,材料的许用应力,起重量,跨度,试选择工字钢的型号。

6、,自重,分析,（2）确定危险截面,（5）计算,（6）计算 ，选择工字钢型号,（3）截面为关于中性轴对称,（1）简化为力学模型,（4）应力计算公式,（1）计算简图,（2）绘弯矩图,（3）危险截面,（4）强度计算,（5）选择工字钢型号,50a工字钢,F=F1+F2,例3 T型截面铸铁梁，截面尺寸如图。,试校核梁的强度。,5 作弯矩图，确定危险截面,6 确定危险点，进行强度校核,分析：,非对称截面；,确定形心主轴位置；,1 脆性材料，,2 寻找形心,3 确定中性轴位置；,4 计算图形对中性轴的主惯性矩,危险截面与内力图有关,（2）求截面对中性轴z的惯性矩,（1）求截面形心,（4）确定危险截面,（3）求支反力，作弯矩图,B截面应力强度计算,9KN,1m,1m,4KN,1m,A,C,B,FA=2.5KN,应用公式,（5）结论,C截面强度计算,满足强度条件,例 一简支梁受力如图所示。已知 ，空心圆截面 的内外径之比 ，试选择截面直径D；若外径D增加 一倍，比值不变，则载荷 q 可增加到多大？,3 作弯矩图，确定危险截面；,对称截面；,1 塑性材料，,2 已知图形对中性轴的主惯性矩,5 公式,4 确定危险点，进行强度校核,1 求支座反力，并作弯矩图,FA=FB=ql/2,2 确定危险截面,强度计算,若外径D增加一倍，,不变,例 已知 材料的 ，由M图知： ，试校核其强度。,5、确定危险点，进行强度校核,分析：,非对称截面；,确定形心主轴位置；,1、塑性材料，,2、寻找形心,3、确定中性轴位置；,4、计算图形对中性轴的主惯性矩,6、公式,（1）确定中性轴的位置,（2）计算截面对形心主轴的惯性矩,（4）正应力校核,所以结构安全。,问题：若材料为铸铁，截面这样放置是否合理？,谢谢！,2009年4月,

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