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[高等教育]14克莱姆法则

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1、2019/1/18,第一章行列式,1,上课,手机关了吗？,2019/1/18,第一章行列式,2,复习：行列式按某行(列)展开定理及推论,ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin,a1jA1j+a2jA2j+anjAnj,ai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is),a1jA1t+a2jA2t+anjAnt=0 (jt),推论,综合定理及推论得:,2019/1/18,第一章行列式,3,n个未知量n个方程的线性方程组, 在系数行列式不为零时的行列式解法, 称为克莱姆(Cramer)法则.,设一个含有n个未知量n个方程的线性方程组,或表示为,1.4 克莱姆(Cramer)法则,2019/1/18,第一章行列式,4,定理1,设线性非齐次方程组(*)的系数行列式,则(*)有唯一解,其中,( j1, 2, , n),即:,( j1, 2, , n),证明:,(1)是解.,(2)解唯一.,(1)将,代入(*)左端,(*),bi ( i1, 2, , n),注,(j=1,2,n),又将Dj按第j列展开，得,6,(2)若有一组数x1, x2 , xn满足(*), 则,D1,同理,D

2、x1,DxjDj,2019/1/18,第一章行列式,7,注:用克莱姆法则解线性方程组的条件,或表示为,齐次线性方程组:,齐次线性方程组必有零解,有否非零解？,(1)方程个数未知量个数,(2)系数行列式D0,方程个数未知量个数及D0的情形以后讨论,2019/1/18,第一章行列式,8,定理2,齐次线性方程组,当时只有零解, 没有非零解.,定理3,齐次线性方程组,有非零解, 则,注:,定理3说明D0是齐次线性方程组有非零解的,必要条件.,后面将证明也是充分条件.即：,齐次线性方程组有非零解,D0,D0,(定理2的逆否命题),2019/1/18,第一章行列式,9,同理 D1=81, D2=108, D3=27, D4=27, x1=3, x2=4, x3=1, x4=1,例1 解线性方程组,解:,=270,=,2019/1/18,第一章行列式,10,例2 k取何值时, 线性方程组,解:,有唯一解?,6(2k)0,k2时方程组有唯一解,2019/1/18,第一章行列式,11,例3 问取何值时, 齐次线性方程组,解:,有非零解的充分必要条件D0,有非零解?,由D0得,2019/1

3、/18,第一章行列式,12,例4 (03考研) 已知齐次线性方程组,其中,试讨论a1,a2,an和b满足何种关系时,(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解.,D0,D0,13,解,每行元素之和相同，2n列加至首列,2019/1/18,第一章行列式,14,(1)b0且时方程组仅有零解；,(2) b0或时方程组有非零解.,例5 (96考研) 解方程组,其中 aiaj (i, j =1,2,n),解,0,aiaj (ij),易见,D1=D, D2=D3=Dn=0,x1=1, x2=x3=xn=0,2019/1/18,第一章行列式,16,方程组是否有解与在哪个数集上讨论有关. 线性代数的许多问题在不同数集上讨论可能有不同结论.为了明确一些结论成立的条件. 引入数域概念:,定义设F是一数集, . 若F中任意两个数(可以相同)的和、差、积、商(除数不为0)仍然是F中的数, 即F对四则运算封闭, 则称F为一个数域.,全体整数组成的集合不是数域, 有理数集Q、实数集R和复数集C都是数域, 分别称为有理数域、实数域和复数域. 本课程的数域F均指实数域R或复数域C, 其它数域在本课程中不进

4、行深入讨论.,注：关于数域概念,2019/1/18,第一章行列式,17,习题课行列式计算方法小结：,利用行列式的定义；化三角形法；拆行(列)法； 4. 按某一行(列)或某k行(列)展开； 5. 数学归纳法； 6. 利用范德蒙行列式的结论； 7. 递推法； 8. 加边法(升阶法)。,2019/1/18,第一章行列式,18,解:,=(-1-1)(2-1)(-2-1)(2+1)(-2+1)(-2-2) =72,D0=576, D1=-72, D2=-144, D3=72,a0=8, a1=-1, a2=-2, a3=1,思考题已知三次曲线y=f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3在四个点x=1, x=2处的值f(1)= f(-1)= f(2)=6， f(-2)=-6，试求其系数a0, a1, a2, a3.,D=,y=f(x)=8-x-2x2+x3,复习 Ch 1,作业：P33： 10(2), 11, 12, 13,做练习卷 (下次习题课带来),2019/1/18,第一章行列式,20,a11+a12+a1n,+a21+a22+a2n,+an1+an2+ann,+ ,a11+a

5、21+an1,+a12+a22+an2,+a1n+a2n+ann,+ ,返回,2019/1/18,第一章行列式,21,下课,复习 Ch 1,作业：P31： 5(2), 6，7,做练习卷 (下次习题课带来),作业：P41(四川),20(2), 21(2)，22,预习 3.1,复习 Ch 1,2019/1/18,第一章行列式,24,Cramer法则的优点:,用方程的系数及常数项组成的行列式把解明显地,表达出来,这在分析问题时非常方便,理论上具有重要意义.,缺点:,实际计算时需算许多行列式(n元算n+1个n,阶行列式)当n较大时,计算困难更大.,例2,求四个平面,相交于一点的充分必要条件.,解:,平面方程可写成,其中,(看成以,为未知量,为,系数的齐次线性方程组),2019/1/18,第一章行列式,25,四平面相交于一点有唯一的一组非零解,根据 “ 齐次线性方程组有非零解系数行列式值为零 ”,即得：四平面相交于一点的充分必要条件为,2019/1/18,第一章行列式,26,证明,再把方程依次相加，得,2019/1/18,第一章行列式,27,于是,当时,方程组(2)有惟一的一个解,端为,由于方程组(2)与方程组(1)等价,所以,也是 (1)的解.,

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