[数学]线性代数PPT2-2
36页1、2.2 方 阵,本节将介绍几类特殊方阵,讨论方阵运算,n阶矩阵的行列式及初等矩阵.,1,1.方阵概念,定义2.2.1 由n2个数排成的nn矩阵,2,称为n阶方阵.记作 A=(aij ), i,j=1,2,n 或,方阵的迹,定义2.2.2 由方阵左上角元素到右下角元素表示的位置称为方阵的主对角线,主对角线元素的和称为方阵的迹,记作,3,以上3阶方阵的迹为1+0+9=10 n阶方阵的迹为1+0+1=n.,例1,2.几种常用的特殊方阵,(1)对角阵 (2)数量阵 (3)单位阵和零阵 (4)上(下)三角阵,4,(1)对角矩阵,5,定义 所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵称为 对角矩阵.,是一个四阶对角矩阵.,当对角线元素都相等时有:,6,(2)数量矩阵,定义 如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都相等, 则称此矩阵为n阶数量矩阵,或标量矩阵.,例1,7,(3)单位矩阵与零阵,定义 如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都是1, 则称此矩阵为n阶单位矩阵.,单位矩阵在方阵运算中 起到数字“1”的作用.,当a=0时,n阶零阵在方阵运算中 起到数字“0”的作用.,(4)三角形矩阵,8,定义 如果n阶矩阵主对
2、角线下方的元素都等于零, 则称此矩阵为上三角矩阵.,如果n阶矩阵主对角线上方的元素都等于零, 则称此矩阵为下三角矩阵.,A为n阶上三角矩阵;B为n阶下三角矩阵.,(4) 线性变换矩阵,例2 (线性变换的系数矩阵),9,称此矩阵为上述线性变换的系数矩阵.,线性变换的系数矩阵,10,称此矩阵为线性变换的系数矩阵.,线性变换与矩阵之间 存在着一一对应关系.,两个简单线性变换,恒等变换,对应一个n阶单位矩阵,11,对角变换,对应一个n阶对角矩阵,4. 方阵的运算,方阵的一般运算 方阵的幂 矩阵多项式,12,返回,(1)方阵的一般运算,方阵作为行数与列数相等的一类矩阵,同样可以进行矩阵的各种运算,并满足相应的运算律.方阵的和,差,数乘,乘积及转置矩阵仍为方阵.,例3,13,对称矩阵和反对称矩阵,14,定义 如果n阶矩阵A满足A=AT,则称A为对称矩阵.,对称矩阵A=(aij)中的元素满足aij=aji,i,j=1,2,n即A中元素关于主对角线为对称.,性质(i)对称矩阵A与B的和也是对称矩阵; (ii)数乘对称矩阵仍为对称矩阵.,下面证明(ii),15,如,是一个三阶对称矩阵. 它的元素关于A的
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