数学建模讲座之十一--数学建模案例分析

1、数学建模暑期培训 班数学建模王 磊*数学建模简要提纲 1. 优化软件简介2. LINDO / LINGO软件的简单使用简介3. 建模与求解实例（结合软件使用）4. LINGO软件基本使用方法Date数学建模1. 优化软件简介Date数学建模最优化是工程技术、经济管理、科学研究、 社会生活中经常遇到的问题, 如:优化模型和优化软件的重要意义结构设计资源分配生产计划运输方案解决优化问题的手段 经验积累，主观判断 作试验，比优劣 建立数学模型(优化模型)，求最优策略(决策)(最)优化:在一定条件下,寻求使目标最大(小)的决策 CUMCM赛题：约一半以上与优化有关，需用软件求解Date数学建模运筹学(OR: Operations/Operational Research)管理科学(MS: Management Science)决策科学 (DS: Decision Science)(最)优化理论是运筹学的基本内容无 约 束 优 化OR/ MS/ DS优化(Optimization), 规划(Programming)线 性 规 划非 线 性 规 划网 络 优 化组 合 优 化整 数 规 划不 确

2、定 规 划多 目 标 规 划目 标 规 划动 态 规 划Date数学建模优化问题三要素：决策变量；目标函数；约束条件约 束 条 件决策变量优化问题的一般形式 可行解（满足约束）与可行域（可行解的集合） 最优解（取到最小大值的可行解）目标函数Date数学建模无约束优化:最优解的分类和条件给定一个函数 f(x),寻找 x* 使得 f(x*)最小，即其中局部最优解全局最优解必要条件x*f(x)xlxgo充分条件 Hessian阵最优解在可行域边界上取得时不能用无约束优化方法求解Date数学建模约束优化的 简单分类 线性规划(LP) 目标和约束均为线性函数 非线性规划(NLP) 目标或约束中存在非线性函数 二次规划(QP) 目标为二次函数、约束为线性 整数规划(IP) 决策变量(全部或部分)为整数 整数线性规划(ILP)，整数非线性规划(INLP) 纯整数规划(PIP), 混合整数规划(MIP) 一般整数规划，0-1（整数）规划连 续 优 化离 散 优 化数学规划Date数学建模常用优化软件 1. LINDO/LINGO软件2. MATLAB优化工具箱3. EXCEL软件的优化功能4. SAS

3、(统计分析)软件的优化功能5. 其他Date数学建模MATLAB优化工具箱能求解的优化 模型 优化工具箱3.0 (MATLAB 7.0 R14)连续优化离散优化无约束优化非线性 极小 fminunc非光滑(不可 微)优化 fminsearch非线性 方程(组 )fzero fsolve全局 优化暂缺非线性 最小二乘lsqnonlin lsqcurvefit线性规划 linprog纯0-1规划 bintprog 一般IP(暂缺)非线性规划 fmincon fminimax fgoalattain fseminf上下界约束 fminbnd fmincon lsqnonlin lsqcurvefit约束线性 最小二乘lsqnonneg lsqlin约束优化二次规划 quadprogDate数学建模LINDO 公司软件产品简要介绍 美国芝加哥(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980 年前后开发, 后来成立 LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.）， 网址：http:/ LINDO: Linear INteractive and Discrete Opt

4、imizer (V6.1)LINGO: Linear INteractive General Optimizer (V9.0)LINDO API: LINDO Application Programming Interface (V3.0)Whats Best!: (SpreadSheet e.g. EXCEL) (V8.0)演示(试用)版、学生版、高级版、超级版、工业版、 扩展版 （求解问题规模和选件不同）Date数学建模LINDO和LINGO软件能求解的优化 模型LINGOLINDO优化模型线性规划 (LP)非线性规划 (NLP)二次规划 (QP)连续优化整数规划(IP)Date数学建模LP QP NLP IP 全局优化(选 ) ILP IQP INLPLINDO/LINGO软件的求解过程 LINDO/LINGO预处理程序线性优化求解程序非线性优化求解程序分枝定界管理程序1. 确定常数2. 识别类型1. 单纯形算法2. 内点算法(选)1、顺序线性规划法(SLP) 2、广义既约梯度法(GRG) (选) 3、多点搜索(Multistart) (选) Date数学建模建模时需要注意的几个

5、基本问题 1、尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量2、尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数 如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量求最 大/最小值、四舍五入、取整函数等3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变量 的个数 （如x/y ”（或“=”（或“: 2 0 2, GUBS = 0 SINGLE COLS= 0 REDUNDANT COLS= 0Date数学建模LINDO行命令、命令脚本文件批处理：可以采用命令脚本（行命令序列）WINDOWS环境下行命令的意义不大Example 演示用FILE / TAKE COMMANDS (F11) 命令调入必须是以LINDO PACKED形式 （压缩）保存的文件FILE / SAVE命令SAVE行命令Date数学建模LINGO软件简介 目标与约束段 集合段（SETS ENDSETS） 数据段（DATA ENDDATA） 初始段（INIT ENDINIT） 计算段 (CALC ENDCALC) - LINGO9.0LINGO模型的构成：5个段LINGO模型的优点 包含了LINDO的全部功能 提供了灵活的编程语言（矩阵生成器）Date

6、数学建模LINGO模型 例：选址 问题某公司有6个建筑工地，位置坐标为(ai, bi) (单位：公里), 水泥日用量di (单位：吨）假设：料场 和工地之间 有直线道路Date数学建模用例中数 据计算， 最优解为总吨公里数为总吨公里数为136.2136.2线性规划模型决策变量：ci j ( 料场j到工地i的 运量）12维Date数学建模选址问题：NLP2）改建两个新料场，需要确定新料场位置(xj,yj)和 运量cij ，在其它条件不变下使总吨公里数最小。决策变量： ci j，(xj,yj)16维非线性规划模型Date数学建模LINGO模型的构成：4个段集合段（SETS ENDSETS）数据段（DATA ENDDATA）初始段（INIT ENDINIT） 目标与约束段局部最优：89.8835(吨公里 )LP：移到数据段Date数学建模边 界Date数学建模集合的类 型集合派生集合 基本集合稀疏集合 稠密集合元素列表法 元素过滤法 直接列举法 隐式列举法setname /member_list/ : attribute_list;setname(parent_set_list ) /mem

7、ber_list/ : attribute_list;SETS:CITIES /A1,A2,A3,B1,B2/;ROADS(CITIES, CITIES)/ A1,B1 A1,B2 A2,B1 A3,B2/:D; ENDSETSSETS:STUDENTS /S1S8/;PAIRS( STUDENTS, STUDENTS) | ENDSETSDate数学建模集合元素的隐式 列举类类型隐隐式列举举格式示例示例集合的元素 数字型 1n151, 2, 3, 4, 5 字符- 数字型stringMstringNCar101car20 8Car101, car102, , car208 星期型 dayMdayNMONFRIMON, TUE, WED, THU, FRI 月份型 monthMmonth NOCTJANOCT, NOV, DEC, JAN 年份- 月份型monthYearMm onthYearNOCT2001JA N2002OCT2001, NOV2001, DEC2001, JAN2002Date数学建模运算符的优先级 优优先级级 运算符 最高#NOT# （负负号） * / + （减

8、法） #EQ# #NE# #GT# #GE# #LT# #LE# #AND# #OR# 最低(=)三类运算符：算术运算符 逻辑运算符 关系运算符Date数学建模集合循环函数 四个集合循环函数：FOR、SUM 、 MAX、MINfunction( setname ( set_index_list) | condition : expression_list);objective MAX = SUM( PAIRS( I, J): BENEFIT( I, J) * MATCH( I, J);FOR(STUDENTS( I): constraintsSUM( PAIRS( J, K) | J #EQ# I #OR# K #EQ# I: MATCH( J, K) =1);FOR(PAIRS( I, J): BIN( MATCH( I, J);MAXB=MAX(PAIRS( I, J): BENEFIT( I, J);MINB=MIN(PAIRS( I, J): BENEFIT( I, J);Example:Date数学建模状态窗口Solver Type: B-and-B Global Multi

9、startModel Class:LP， QP，ILP ， IQP，PILP, PIQP，NLP， INLP，PINLP State: Global Optimum Local Optimum Feasible Infeasible Unbounded Interrupted UndeterminedDate数学建模7个选项卡(可设置80-90个控制参数)Date数学建模程序与数据分离文本文件使用外部数据文件 Cut (or Copy) Paste 方法 FILE 输入数据、TEXT输出数据（文本文件） OLE函数与电子表格软件（如EXCEL）连接 ODBC函数与数据库连接 LINGO命令脚本文件 LG4 （LONGO模型文件） LNG （LONGO模型文件） LTF （LONGO脚本文件） LDT （LONGO数据文件） LRP （LONGO报告文件）常用文件后缀Date数学建模FILE和TEXT：文本文件输入输出MODEL: SETS:MYSET / FILE(myfile.txt) / : FILE(myfile.txt); ENDSETS MIN = SUM( MYSET( I):SHIP( I) * COST( I);FOR( MYSET( I): CON1 SHIP( I) NEED( I);CON2 SHIP( I) NEED( I);CON2 SHIP( I) 1； “#GT#”是逻辑运算符号，意思是“大于（Greater Than 的字首字母缩写）” 。约束的定义方式Date数学建模问题的求解：运行菜单命令“LINGO|Solve” 全局最优解 RP=(40,40,40,25), OP=(0,10,35,0) 最小成本=78450 Date数学建模注：由于输入中没有给出行名，所以行名是系统自动按照行

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