概率与概率分布

1、第4章 概率与概率分布如果自然界中的事件完全不可预测地随机发生，则我 们的生活将无法忍受。而与此相反，如果每一件事情都是 确定的、完全可以预测的，则生活将是无趣的。现实中的 每一现象是二者不规则的混合，这使得生活变得复杂但不 索然无味。R.劳推断统计基础主要内容n基本概念 n随机变量及其分布 n常用到的几种分布 n大数定律与中心极限定律4.1.基本概念n随机现象n随机试验n随机事件n样本空间n概率随机现象与随机试验n随机现象（偶然现象），即事物发展的结果事先不能确 定的现象。如天气有晴雨不定、产品有合格和不合格、 盈利有高有低等。南方雪灾还会发生么？n区别于随机现象的是确定性现象，如重物下落(必然)或 水流向上(不可能)。 前者称为必然现象，后者称为不可 能现象。n从广义上讲，对随机现象进行观测和试验，称为随机试 验。n随机试验具有如下特点：q试验可在相同条件下重复；q试验所有可能结果明确可知，并不止一个；q每次试验总是出现所有可能结果中的一个，但试验之前不能预知 。随机事件与样本空间n随机试验中可能出现或可能不出现的事情，称为随机事件 。如天气的某种状态（晴朗、多云、阴、有降水等）n

2、随机试验的每一个可能结果称为基本事件；所有事件的全 体称为基本事件组；由基本事件组合而成的事件称为复合 事件。n所有基本事件对应的全部元素组成的集合，称为样本空间 ，用S来表示。若样本空间由k个元素构成，则可以写作： S= n举例：观察每个同学的性别（随即试验），可能为男性（用“0”表 示），也可能为女性（用“1”表示），则0，1即为基本事件，0， 1即为这个试验的样本空间。出现每个基本事件的概率为？概率n古典概率若随机现象所能发生的事件是有限的、互不相容的,而且每个 基本事件发生的可能性相等。某一事件A发生的概率为该事件 包含的基本事件个数m与样本空间中的基本事件总数n的比 值。记作：举例：投色子，出现3个点的概率为：1/6n统计概率当上述条件不满足时，若在相同条件下，进行n次试验， 事件A发生的m次，随着试验次数n的增大，事件A发生的频 率m/n围绕某一常数p上下波动的幅度愈来愈小，且逐步趋 于稳定，则称p为事件A的概率，记作：举例：26个字母中，字母t出现的频率。(4.1)(4.2)n主观概率人们根据自己的经验和掌握的信息，对事件发生的可能性 大小给出主观的估计，就是主观概率。比

3、如，专家估计某 投资项目成功的概率为0.8。n举例：随机安排A、B、C三个表演节目,问A和B两个节目连续演出的概率是 多少?解:三个节目的可能安排可以罗列为:ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA。这6种安排都是基本事件。因为,随机抽选就是指每一事件出现的 可能性相等。因此出现A和B连续的事件在6种安排中占4种可能。有 :概率的共性：性质1 一个事件E出现的概率总是在0与1之间,即:0P(E)1作为特例，如果P(E)=0,则事件E为不可能事件;如果 P(E)=1，则事件E为必然事件。 性质2 一个随机现象如果可能出现的基本事件(也必然是 互不相容事件)是有限的。记全部可能基本事件总数为S, 则:P(S)=1 4.2 随机变量及其分布1. 随机变量，即随机试验的结果（事件）能够取不同 数值的变量。如质量检验时出现次品的件数。 n设随机试验的样本空间为S，对于每个属于S的样本点 （事件）w，总有一个实数 与之对应，则称函数 为随机变量。随机变量一般用大写字母表示，如X、Y 、Z。n举例： n 样本空间S男，女 0，1 X n 生产废品数的样本空间0,1,2,3,4,5,6,n，则生

4、产废品数这 个变量X，其可能取值为0,1,2,3,4,5,6,n。n随机变量可以分作：离散型随机变量和连续型随机变 量。前者其变量值可一一列举，后者其变量值充满某 一区间。前者如性别，后者如成绩、年龄。2.离散型随机变量的概率分布n概率分布将离散型随机变量X的所有可能取值x1,x2,xk,；及其相应 的概率p(x1),p(x2),p(xk),描述出来，称为离散型随机变量的概 率分布。概率分布指的是随机变量出现结果的不同可能性， 用来反映随机现象的统计规律。 n表示形式：q函数式：P(X=xi)=p(xi) q表格式q图形式 n概率分布的性质：；XX1 x2 xk p(xi)p(x1) p(x2) p(xk) 例：预测明年国际锌价及其概率分布锌价的概率分布价格(元/吨)X650680700730750概率p(x)0.100.250.500.100.05概率 0.50.40.30.20.1650 680 700 730 750 锌价的概率分布 分布函数设X为一随机变量，x为任意实数，则把以下函数称 为X的累积分布函数，简称分布函数。例：锌价的概率分布价格(元/吨)X650680700730

5、750概率p(x)0.100.250.500.100.05锌价的累积概率分布价格(元/吨)X650680700730750概率p(x)0.100.350. 850.951.00 随机变量的分布函数表示方法：1.函数式；2. 表格式；3.图形式概率1650 680 700 730 750 锌价的累计概率分布 0.80.60.40.2离散型随机变量的期望值和方差n随机变量X的期望值就是X所能取的值的加权平均数,记为E(X) 或 ,所加的权数就是各取值的概率。期望值是概率分布的主要集中 趋势量数 。nX为离散型随机变量,其可取值为xi,其概率为p(xi),则:E(X)=x1p(x1)+x2p(x2)+xnp(xn),即: E(X)=xip(xi) n随机变量的方差就是各变量值与期望值的离差的平方的平均数, 记为D(X)或 (X),简记为 。 n对于离散变量，则：3.连续型随机变量的概率分布n连续型变量取值无法一一列举，故其概率分布不能以表之形式表示 。常以函数表示。可以由概率密度和概率分布函数来描述。 n 概率密度 对于连续型随机变量 ，如果存在非负可积函 数 ，对任意的 、 （ ）都有：则

6、称 为X的概率密度函数，简称概率密度。 n 分布函数 设X为连续型随机变量，称函数为X的累积分布函数，简称分布函数。X连续型随机变量的概率分布的性质（1）（2） （3）连续型随机变量X在某个区间a,b（也可以是开或半开）内 取值的概率均为：（4）连续型随机变量的概率密度是分布函数的导数 （5）连续型随机变量的数学期望和方差为：例：n设一随机变量X的分布函数为则 等于（ ） A. 0.21 B. 0.30 C. 0.5 D. 0.8 解：4.3 常用的连续型随机变量的分布n 正态分布 （ 1 ）设连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数 、 的正态分布，记作XN（ ， ） 。 （ 2 ）正态分布的分布函数为：（ 3 ）正态分布的期望值和方差为：1 正态分布：随 变化的情态2 正态分布：随 变化的情态结论：1.正态分布以X= 为对称 轴；2.其陡缓程度取决于 ， 越大越平缓，反之， 越小越陡峭 。3.曲线拐点为X= 4.正态 曲线以x轴为渐近线。n2.标准正态分布q当正态分布 时，称X服从标准正态分布，记作 XN(0,1)。常用 表示其概率密度和分布函数， 即：n标准正态分布的性质：q数

7、学期望和方差分别为0，1q以X=0为对称轴对称分布，且分布曲线同横轴所包围面积 为常数1q 正态分布转化为标准正态分布n对于一般的正态分布 ，只需设 即通过 线性化转换为新的随机变量Z ，其服从标准正态分布 ，即 。因而求一般正态分布在某区间上概率 ，就转化为求标准正态分布在相应区间上的概率。n若 ，则 n分布函数 例：n设 ，求X落在（0，1.6）的概率4.3 大数定律与中心极限定律 n大数定律n大数定律是阐述大量随机变量的平均结果具有稳 定性的一系列定律的总称。 （独立同分布）大数定律：独立随机变量 具有 相同的分布，且存在有限的数学期望 和方差 ，则对于任意小的正数 ，有：简言之：当n足够大时，独立同分布的一系列随机 变量的算数平均数接近（依概率收敛于）数学期 望，即平均数具有稳定性。从而提供了用样本平 均数估计总体平均数的理论依据。贝努利大数定律定律n设m是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次 试验中发生的概率，则对任意小的整数 ，有简言之：当n足够大时，事件A发生的频率接近（依概率收敛 于）事件A发生的概率，即频率具有稳定性。该定律提供了 用频率代替概率的理论依据

8、。中心极限定律n中心极限定律是阐述大量随机现象之和的极限分布是正态分布的一 系列定律的总称。一般说来，如果一个随机变量是由大量相互独立 的随机因素的影响造成的，而每个因素的作用微乎其微，那么这一 随机变量趋于正态分布。n独立同分布中心极限定律：n随机变量 独立同分布，且存在有限的数学期望 和方差 ，当 时，随机变量的总和 趋于均值 ， 方差为 的正态分布。（或算数平均数 趋于均值为 ，方 差为 的正态分布）。即 时 或简言之：无论总体服从何种分布，只要它的数学期望和方差存 在，从中抽取容量为n的样本，则当n充分大时（n30），样本 总和或平均数趋于正态分布。这一结果是统计学中大样本统计 推断的基础。小测验一、填空题 1.一个销售经理告诉他的销售小姐，一项新的广告活动将有 50:50的机会使销售额增加30%，这是一种 概率。 2.一投资者想从一张最灵敏的25中股票表中选择5种股票的 一组。则他必须研究 个不同的组。 3.某班某门课程的成绩分为A、B、C、D、E五档，观察全 班35名同学的该门课成绩，则对于此随机试验，基本事 件为,样本空间S为 。4.正态分布可由 转化成标准正态分布。 5.设 ，则 = 。 小测验二、选择题 1.下列事件不属于严格意义上的随机事件的是（） A. 从一大批合格率为99%的产品中任意抽取的一件产品是不合格产品 B.从一大批合格率为99%的产品中任意抽取的20件产品都是不合格产 品 C.从一大批合格率为10%的产品中任意抽取的一件产品是是优质产品 D.从一大批合格率为100%的产品中任意抽取的一件产品是合格产品 2.根据概率的古典意义，某一随机事件的概率就是（） A.大量重复随机试验中该随机事件出现的次数占试验总次数的比重 B.该随机事件包含的基本事件数占样本空间中基本事件总数的比重 C.大量重复随机试验中该随机事件出现的次数 D.专家估计该随机事件出现的可能性大小参考答案：1D 4B小测验3.下列概率中属于主观概率的是（ ） A.掷一枚色子，出现6点的概率是1/6 B.根据交警的长期记录，汽车在某条山路上发生事故

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