半导体物理第三章1

1、半导体物理教案7 1 第三章半导体中载流子的统计半导体靠电子和空穴传导电流，为了了解和描述半导体的导电过程，必须首先了解其中电子和空穴按能量分布的基本规律，掌握用统计物理学的方法求解处于热平衡状态的一块半导体中的载流子密度及其随温度变化的规律。这就是本章要讨论的主要问题。 3.1 状态密度为了计算半导体中热平衡载流子的密度及其随温度变化的规律，我们需要两方面的知识：第一，载流子的允许量子态按能量如何分布；第二，载流子在这些允许的量子态中如何分布。一、 热平衡状态下的电子和空穴1、热平衡状态在一定温度下， 如果没有其他外界作用，半导体中能量较低的价带和施主能级上的电子依靠热激发跃迁到能量较高的受主或（和） 导带，分别在价带和导带中引入可以导电的空穴和电子。同时，高能量状态上电子也有一定的几率退回到它原来的低能量状态。于是， 电子和空穴在所有允许量子态间的可逆跃迁达到稳定的动态平衡，使导带和价带分别具有稳定的电子密度和空穴密度，这种状态即是热平衡状态。处于热平衡状态下的导带电子和价带空穴称为热平衡载流子。热平衡载流子具有稳定的、与温度相关的密度。因此，需要解决如何计算确定温度下半导体热平衡

2、载流子密度的问题。2、热平衡状态下的载流子密度由于导电电子和空穴分别分布在导带和价带的量子态中，所以 电子和空穴的密度必取决于这些状态的密度分布，以及电子和空穴占据这些状态的几率。如果状态密度是与能量无关的常数NC和NV，则电子和空穴的热平衡密度n0和 p0直接由 NC和 NV分别与相应的几率函数相乘得出；如果状态密度是能量的函数gC(E) 和 gV(E)，则载流子密度的计算须采用积分方式，即dEEfEgnCEC)()(0；dEEfEgpVEV)()(0因此，须了解态密度函数和几率函数的具体函数形式。二、态密度的定义及求解思路假定在能带中无限小的能量间隔dE 内有 dZ 个量子态，则状态密度g(E)定义为dEdZEg/)(也就是说，状态密度g(E)就是在能带中能量E 的附近每单位能量间隔内的量子态数。由上式看出， 为了求解态密度函数g(E)的具体形式， 须求出 k 空间中状态分布与能量的函数关系。为此，要首先算出单位体积k 空间中的量子态数，即k 空间的量子态密度；然后算出k 空间中某能量范围对应的k 空间体积，二者相乘方可得到相应的状态数Z, 对 Z 取微商即得g(E)。三K 空间的

3、量子态密度在第一章的讨论中我们知道，半导体中电子的允许能量状态(即能级 )用波矢 k 标志，有界晶体中电子波矢k 的取值受到边界条件的限制。对晶格常数为a，原胞数为N 的一维晶体， k 的允许值为简略布里渊区中N 个等间距的点，间隔距离为1/L，L=Na，即一维晶体的长度。由此可知，一维晶体 k 空间的量子态密度就是它的长度L。半导体物理教案7 2 如此类推，用同样的方法可以算出体积为V=L3的晶体的 三维 k 空间的量子态密度是V。如果计入电子的自旋，k 空间一个点实际上代表自旋方向相反的两个量子态。这时，电子在k空间的允许量子态密度是2V。四、状态密度1、 导带底的状态密度1）各向同性的情况首先考虑能带极值在k=0，等能面为球面的各向同性情况。已知其导带底附近E(k)关系为在 k 空间中，以 k 为半径作一球面，它就是能量为E(k)的等能面，相应的球体体积是2/332/33)()2(3434CnEE hm k已知 k 空间中量子态密度是2V ，所以动能小于EEC的状态数（球体内状态数）就是2/332/3)()2(38CnEE hm VZ上式对能量取微分，得dEEE hm VdZCn

4、2/132/3)()2( 4按定义得各向同性导带底单位能量间隔中的状态数（态密度）2/132/3)()2( 4)(CnCEE hm V dEdZ Eg上式表明， 导带底附近单位能量间隔内的量子态数目随着能量增加按抛物线关系增大，而且与电子的有效质量有关，有效质量较大的带，态密度较高。通常将态密度定义为单位体积单位能量间隔内的量子态数目，因而上式中V1。2）各向异性的情况对于导带底不在布里渊区中心，且电子等能面为旋转椭球面的各向异性问题可用类似的方法得到相似的结果。问题的关键在于求出旋转椭球等能面的体积。对这种情况下，已知其导带底附近E(k)关系为ltCmkmkkhEkE2 32 22 122)(已知椭球体积为abc 34式中 a、b、c 分别为椭球的长短轴之半，其值分别为2/12/1)()2(ClEE hm a；2/12/1)()2(CtEE hm cb半导体物理教案7 3 于是知，一个椭球内动能小于E EC的状态数就是2/332/12)()8(38CtlEE hmm VZ于是，具有s 个等价能谷的各向异性导带的态密度就是2/132/12)()8( 4)(CtlCEE hmm VsEg

5、2/132/3)()2( 4CdnEE hm V令 s(8mlmt2)1/2=(2mdn)3/2，上式最终写成跟各向同性导带相同的形式：3/123/2)(tldnmmsm称 mdn为导带底电子的态密度有效质量。对硅，s 6， 其 mdn1.08m0；对锗，s4，其 mdn 0.56 m0。2、价带顶的状态密度（1） 无简并的情况考虑价带顶位于布里渊区中心且各向同性，中心附近的E(k)关系为222222)( )(pzyxVmkkkh EkE球形等能面的半径为2/12/1*)()2( EE hmVpmp*为价带顶空穴有效质量。用同样的方法算得价带顶附近状态密度gv(E)为2/132/3*)()2( 4)(EE hm VEgVpV（2） 对轻、重空穴的考虑在晶体硅、锗中，价带在价带顶是二度简并的；与这两个能带相对应的有轻空穴有效质量(mp)l和重空穴有效质量(mp)h。因而，价带顶附近状态密度应为这两个能带的状态密度之和。相加之后，价带顶附近gV(E)仍可由式 (3-8)表示，不过要将其中的有效质量mp*替换为3/22/32/3)(重轻ppdpmmm称 mdn为价带顶空穴的态密度有效质量。对

6、硅， mdp=0.59 m0；对锗， mdp=0.37 m0。 3.2 费米能级和载流子的统计一、费米分布函数1、量子态的占据几率在热平衡状态下，电子在不同能量量子态上的分布几率是一定的。根据量子统计理论，服从泡利不相容原理的电子遵循费米统计律，能量为E 的一个量子态被电子占据的几率)exp(11)(kTEEEfFf(E)被称为电子的费米分布函数。式中k 是玻耳兹曼常数，T 是热力学温度。半导体物理教案7 4 f(E)表示能量为E 的量子态被电子占据的几率，那么1 f(E)就是能量为E 的量子态不被电子占据的几率，若该量子态属于价带，这也就是它被空穴占据的几率。即)exp(11)(1kTEEEfF2、量子态在不同温度下被电子占据的几率（1）T0K 时若 EEF，则 f(E) 1，即这些量子态是满的；若 EEF，则 f(E)0，因而这些量子态是空的。（2）T0K 时若 EEF，则 f(E) l/2，即能量比费米能级低的量子态被电子占据的几率较大若 EEF，则 f(E) l/2，即能量等于费米能级的量子态被电子占据的几率是50；若 EEF，则 f(E)l/2，即能量比费米能级高的量子态被电

7、子占据的几率较小。可以认为，在温度不很高时，能量大于费米能级的量子态基本上没有被电子占据，而能量小于费米能级的量子态基本上为电子所占据，而电子占据费米能级的几率在各种温度下总是1/2，所以费米能级的位置比较直观地反映电子占据量子态的水平。图 3-3 中给出了温度300K、1000K 和 1500K 时的费米分布函数曲线。图中可见，随着温度的升高，电子占据费米能级以下能量状态的几率下降，而占据费米能级以上能量状态的几率增大。二、费米能级费米分布函数中的参量EF被称为为费米能级或费米能量，其大小与温度、材料的导电类型、杂质的含量以及能量零点的选取有关。在一定温度下，EF决定电子在各量子态上的统计分布。1、 费米能级位置的确定在确定温度下， 量子态被电子占据的难易程度决定于其能级与费米能级的相对位置，因而确定费米能级的位置是载流子统计的前提。按定义，一个电子系统内所有被电子占据的量子态数目之和应等于该系统的电子总数N，即iiiiiNEfEfN)()(如果一个电子系统中没有相同的状态对应于同一能量，则上式中 Ni=1。 利用此关系即可确定费米能级在能带结构中的位置。2、 费米能级的物理含义将半

8、导体中大量电子的集合看成一个热力学系统，由统计理论证明，费米能级EF是系统的化学势，即TFNFE)(在统计物理学中，代表系统的化学势，F 是系统的自由能。上式的意义在于：当系统处于热平衡状态，也不对外界做功的情况下，系统中增加一个电子所引起系统自由能的变化，等于系统的化学势，也就是等于系统的费米能级。处于热平衡状态的系统有统一的化学势，所以，处于热平衡状态图3-3 费米分布函数与温度关系曲线(曲线 A， B， C，D 分别是 0K, 300K, 1000K, 1500K 的 f(E)曲线 )半导体物理教案7 5 的电子系统有相同的费米能级。三、费米分布函数与玻耳兹曼分布函数当 EEFk0T 时，由于 exp(E-EF)/ k0Tl ，费米分布函数就转化为令 A=exp(EF / k0T)则)exp()( kTEAEfB这就是熟知的玻耳兹曼统计分布函数。这表明，对分布于E EFkT 能量范围的电子，可用玻耳兹曼分布函数代替费米分布函数计算电子密度。 这是因为， 费米统计与玻耳兹曼统计的主要差别在于前者受到泡利不相容原理的限制。而在 EEFkT 的条件下，泡利原理的限制没有意义，因而两种统

9、计的结果变成一样了。对价带空穴，当EFEkT 时，其费米函数分母中的1 也可以略去，设Bexp(-EF/k0T)，则)exp()(1 kTEBEfB此即空穴的玻耳兹曼分布函数。它表明，空穴占据能量远低于EF的量子态的几率很小。四、非简并半导体中的载流子统计1、 简并半导体与非简并半导体在半导体中最常遇到的情况是费米能级EF位于禁带内，而且与导带底或价带顶的距离远大于kT。所以，对导带中所有量子态，条件E-EFkT 都能满足，故统计导带中的电子可以使用电子的玻耳兹曼分布函数。由于随着能量E 的增大， f(E)迅速减小，所以导带中绝大多数电子分布在导带底附近。同理，对半导体价带中的所有量子态来说，条件EF-EkT 也都能满足，所以统计价带中的空穴可直接使用空穴的玻耳兹曼分布函数。由于随着能量E 的增大， 1-f(E)迅速增大，所以价带中绝大多数空穴分布在价带项附近。通常把适用于玻耳兹曼统计的半导体称为非简并半导体，而将必须使用费米统计计算载流子密度的半导体称为简并半导体。2、 导带电子的统计按定义，单位体积非简并半导体导带中能量E(E+dE) 之间的电子数dn 可表示为dEEgEfdnCB)()(代入态密度函数gc(E)和玻耳兹曼分布函数fB(E)，得dE kTEE EE hm dnFCn)exp()()2( 42/132/1*对上式积分，即可求出热平衡状态下单位体积非简并半导体的导带电子密度积分上限 Ec 是导带顶能量。若引入变数代换x= (E-Ec)/kT ，则变为式中 x =( Ec -Ec)/kT 。半导体物理教案7 6 如前所述，一般情况下半导体导带中的电子集中分布在导带底，导带底kT 以上的能量区域已基本没有电子。因此以上积分的上限是x 还是 没有差别，将积分上限改为并不影响所得结果。而这样做便于套用积分公式。于是，将上式改写为已知积分公式于是得导带中电子密度为令32/3*)2( 2 hkTm NnC则得到)exp(0kTEE NnFC CNC称为导带底的电子有效态密度。显然，Nc正比于 T3/2，是温度的函数。而是电子占据能量为Ec的量子态的几率。因此，可以认为，在非简并情况下，导带中所有能够被电子占据的量子态好像都集中在导带底

《半导体物理第三章1》由会员飞***分享，可在线阅读，更多相关《半导体物理第三章1》请在金锄头文库上搜索。