高数 极限

1、1求函数极限的方法和技巧摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。关键词：函数极限引言在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。主要内容一、求函数极限的方法1、运用极限的定义例: 用极限定义证明:1223lim22xxxx证: 由244122322 xxx xxx22222 xxx取 则当 时,就有020x12232xxx由函数极限定义有: 1223lim22xxxx2、利用极限的四则运算性质若 Axf xx )(lim0Bxg xx )(lim0 (I) )()(lim0xgxf xx)(lim0xf xxBAxg xx )(lim0 (II)BAxgxfxgxf xxxxxx )(lim)(lim)()(lim000(III)若 B0 则：BA xgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000（IV） （c 为常数）cAxfcxfc x

2、xxx )(lim)(lim00上述性质对于时也同样成立xxx,3例：求 453lim22xxxx解: =453lim22xxxx25 42523223、约去零因式（此法适用于型时00,0xx 例: 求121672016lim23232xxxxxxx解:原式=)12102(65)2062(103lim2232232xxxxxxxxxxx= )65)(2()103)(2(lim222xxxxxxx=)65()103(lim222xxxxx)3)(2()2)(5(lim 2xxxxx= 2lim x735 xx4、通分法（适用于型）例: 求 )21 44(lim22xxx解: 原式=)2()2()2(4lim 2xxxx=)2)(2()2(lim 2xxxx4= 41 21lim 2xx5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数 f(x)、g(x) 满足：（I）0)(lim0 xf xx(II) (M 为正整数)Mxg)(则：0)()(lim0 xfxg xx 例: 求 xx x1sinlim 0 解: 由 而 0lim 0 x x11sinx故 原

3、式 =01sinlim 0 xx x6、利用无穷小量与无穷大量的关系。（I）若： 则 )(limxf0)(1limxf(II) 若: 且 f(x)0 则 0)(limxf)(1limxf例: 求下列极限 51limxx11lim 1xx5解: 由 故 )5(lim x x051limxx由 故 =0) 1(lim 1 x x11lim 1xx7、等价无穷小代换法设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：,， 存在，, lim则 也存在，且有= limlim lim例:求极限 2220sincos1limxxxx解: ,sin22xx2)(cos122 2xx=2220sincos1limxxxx212)(2222xxx注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”68、利用两个重要的极限。1sinlim)( 0 xxA xexBxx )11 (lim)(但我们经常使用的是它们的变形：)( ,)(11lim()()0)( , 1)()(sinlim)()(xexBxxxAx例：求下列

4、函数极限xaxx1lim) 1 ( 0、bxaxxcoslncoslnlim)2( 0、)1ln(ln1ln)1ln(,11 uau xa auxuax x 于是则）令解：（auauua uau xauxuuuuxxln)1ln(lnlim)1ln(lnlim)1ln(lnlim1lim0010000故有：时，又当)1(cos1ln)1(cos1ln(lim)2( 0 bxaxx、原式1cos1cos1cos)1(cos1ln1cos)1(cos1ln(lim 0 axbxbxbxaxaxx1cos1coslim 0 axbxx7222222220220)2()2()2(2sin)2(2sinlim2sin22sin2 limabxaxbxbxbxaxaxbxxx 9、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限） 。)()(lim)(lim)()(lim)()()()(lim)()(000000afxfxfauufaxxfiixfxfxxxfixxxxxxxx处连续，则在且是复合函数，又若处连续，则在若例：求下列函数的极限（2） )1ln(15coslim) 1 (20xxxexx

5、、xxx)1ln(lim 0 1ln)1 (limln()1ln(lim)1ln(lim)1 ()1ln()1ln()2(6)0()1ln(15coslim)1ln(15cos)(01010011202exxxxxxxxxfxxxexxxexfxxxxxxxxxxx故有：令、由有：故由函数的连续性定义的定义域之内。属于初等函数解：由于10、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同8的极限类型）特别地有：m、n、k、l 为正整数。nkmlxxmnklx 11lim 1例：求下列函数极限 、n mxxmnx(11lim 1)N1)1232(limxxxx解: 令 t= 则当 时 ,于是mnx1x1t原式=nm tttttttt ttnmtnmt)1)(1 ()1)(1 (lim11lim121211LLLL由于=1)1232(limxxxx1)1221 (limxxx 令： 则 tx1 212 2111tx=1)1232(limxxxx1)1221 (limxxx2110)1 (limttt=eett ttt 1)1 (lim)1 (lim2101011、 利用函数极限的存在性定理定理:

6、 设在的某空心邻域内恒有 g(x)f(x)0xh(x) 且有:Axhxg xxxx )(lim)(lim00则极限 存在, 且有)(lim0xf xx9Axf xx )(lim0例: 求 (a1,n0)xnxaxlim解: 当 x1 时,存在唯一的正整数 k,使k xk+1于是当 n0 时有:knxnak ax) 1( 及 aak ak axknknxn11又 当 x时,k 有Qknkak) 1(lim00) 1(lim1aaakknk及 1limknkak0101lim aaakknk=0xnxaxlim12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限存在且等于 A 的充分必要条件)(lim0xf xx 是左极限及右极限都存在且都等于 A。即)(lim0xf xx)(lim0xf xx10有：=A Axf xx)(lim0)(lim0xf xx)(lim0xf xx例：设= 求及)(xf1,10 ,0,212xxxxxxxex)(lim 0xf x)(lim 1xf x1) 1(lim)(lim)(lim1)21 (lim)(lim

7、00000xxxxxfexfxxxxxxQ解：由1)(lim)(lim 00 xfxf xx1)(lim 0 xf x不存在由（又)(lim)01 ()01 (1lim)(lim0) 1limlim)(lim1211111xfffxxfxxxxxfxxxxxxQ13、罗比塔法则（适用于未定式极限）定理：若Axgxf xgxfAAxgxfiiixgxuxgfiixgxfixxxxxxxxxx)()(lim)()(lim()()(lim)(0)()()(0)(lim, 0)(lim)( 00 000000），则或可为实数，也可为内可导，且的某空心邻域在与此定理是对 型而言，对于函数极限的其它类型，均0011有类似的法则。注：运用罗比塔法则求极限应注意以下几点：1、要注意条件，也就是说，在没有化为时不可,00求导。2、应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极)()(limxgxfax限不存在，此时求极

8、限须用另外方法。例： 求下列函数的极限 )1ln()21 (lim2210xxexx)0, 0(lnlim xaxxax解：令 f(x)= , g(x)= l21)21 (xex)1n(2x, 21)21 ()(xexfx 2 12)(xxxg222 “23“ )1 ()1 (2)(,)21 ()(xxxgxexfx 由于0)0()0(, 0)0()0(ggff12但2)0(, 2)0(“gf从而运用罗比塔法则两次后得到122)1 ()1 (2)21 (lim12)21 (lim)1ln()21 (lim22223022102210xxxexxxe xxexxxxxx 由 故此例属于型，由罗比 axxxxlim,lnlim塔法则有：)0, 0(01lim1limlnlim1 xaaxaxx xxaxaxax14、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：1、)(! 212 nn xxonxxxeLL2、)()!12() 1(! 5! 3sin212 153 nn nxonxxxxx LL3、)()!2() 1(! 4! 21cos12242 nn nxonxxxxLL4、)() 1(2)1ln(12 nn nxonxxxxLL5、)(!) 1() 1( ! 2) 1(1)1 (2nnxoxnnxx

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