数学模型习题

1、习 题 一1. 某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在就出售.可得总收入 R0=50 万元(RMB),如果窑藏起来待来日(第 n 年)按陈酒价格出售,第 n 年末可得总收入为: (万60ne元). 而银行利率为 r=0.05.试分析这批好酒窑藏多少年后出售可使总收入的现值最大.2. 某人第一天上午 8:00 由 A 处出发,于下午 6:00 到达 B 处.第二天上午 8:00他又由 B 处出发按原路返回,并于下午 6:00 回到 A 处.证明:途中至少存在一点,此人在两天中同一时刻到达该处.3. 某人恰好用 10 分钟跑完 2000 米，试证明在这 10 分钟内，至少有一个 5 分钟时间区间，他在这 5 分钟内，恰好跑完 1000 米.4. 某人要用 40 块方形瓷砖铺如图 1.4.1 所示形状的地面,但当时市场上只有长方形瓷砖,每块大小等于方形的两块.他买了 20 块,试着铺地面,试问这人能否完整地铺好地面? 习 题 二1. 桌面上有 n 枚硬币, 初态是全部正面向上 ,现让你每轮把其中的 m (2mr0, 建立不允许缺货的生产销售存贮模型.2. 一个尖顶四棱柱是把正四棱柱的四个角切下来补

2、到上底面做成的。若要求这个尖顶四棱柱的体积一定，它的形状应怎样才能使它的表面积最小？如图 3.14.13. 某企业生产一种产品，这种产品的需求量 Q (kg)估计为16020,(t 0, xm 为人口最大容量. 试建amx)(-1立数学模型并求解.2. 设火箭飞行中时刻 t 速度为 v(t),质量为 m(t),初始质量 m0,初速为零,火箭喷出气体相对于火箭速度为常数 u. （1）忽略重力及其他阻力,求火箭速度与质量的关系。 （2）假设火箭垂直发射,且重力加速度为常量 g,求火箭速度与质量的关系.3. 一个半球体状的雪堆，其体积 V 的融化速率与半球面面积 S 成正比，比例系数 K0. 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知初始半径为 r0 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其原体积的 7/8，问该雪堆全部融化需要多少小时？4. 牛顿发现在较小范围内，物体冷却速率正比于该物体与环境温度的差值,因而得冷却模型：图 3.14.10T)()C(kdt式中 T(t)为物体在 t 时刻的温度 ,C 是环境温度，k0 为常数，T0 为物体在 t=0 时刻的温度. 司法部门常用冷却模型推算凶

3、杀的作案时间.例如，某天晚上在一住宅内发现一尸体,法医于 23:35 赶到现场,立即测量得死者体温是 30.8,一小时后再测量得死者体温是 29.1,法医还注意到当时室温是 28,试利用冷却模型推算受害者的死亡时间.(假设正常体温为 37)习 题 五1.设某渔场鱼量的自然增长规律服从 Gompertz 模型:xNrtxln)(其中 r 表示固有增长率,N 表示环境允许的最大容量.单位时间捕捞量为 h=Ex,试讨论该渔场鱼量方程的平衡点及其稳定性,以及最大持续产量.2. 设某渔场的鱼量的自然增长规律服从 Logistic 规律: )1()Nxrtx其中 r 表示固有增长率,N 表示环境允许的最大容量.单位时间捕捞量为常数 h,试分别就下列三种情况讨论该渔场鱼量方程的平衡点及其稳定性： hrN/4.3. 设某渔场的鱼量的自然增长规律服从规律: )(1)(2Nxrtx其中 r0 表示固有增长率,N 表示环境允许的最大容量.单位时间捕捞量为,试讨论该渔场鱼量方程的平衡点及其稳定性. )0()(rExh4. 设某渔场的鱼量的自然增长服从规律: ()(1/)xtrxN其中 r0 表示固有增长率,N

4、 表示环境允许的最大容量.单位时间捕捞量为,如何控制捕捞率 E,使单位时间持续产量最大 . 产量最大值是)0()(rExh多少？5. 在5.3 中,若假设鱼的销售单价 P 随捕捞率的增加而减少 :0PE其中 P0 与 是正的常数, 求最佳捕捞率.习 题 六1. 设有一个经济系统包含三个部门, 在某一年内,各部门的直接消耗系数矩阵A 与最终产品 Y 已知为 20195 ,.015.203. YA试求出完全消耗系数矩阵和各部门的总产值.2. 设三个城市坐标分别为 A(0,20), B(10,5)和 C(15,25),(单位 km) 有一条河流沿 x 轴流动，它们要建自来水共给系统，三个城市每天需水量 Q 分别是 5 万吨、7 万吨和 8 万吨，若建设水厂投资为 （万元） ，铺设水管费用为每 kmC251长度 0.5 万元，试设计合作方案并分配投资额.3. 某市有 6 个区，每个区都可建消防站，为了节省开支，市政府希望设置的消防站最少，但必须保证在该市任何地区发生火警时，消防车能在 15 分钟内赶到现场.假定各区的消防站要建的话,就建在区的中心，根据实地测量,各区之间消防车行使的时间如下表:

5、(单位:分钟)1 区 2 区 3 区 4 区 5 区 6 区1 区 4 10 16 28 27 202 区 10 5 24 32 17 103 区 16 24 6 12 27 214 区 28 32 12 4 15 255 区 27 17 27 15 3 146 区 20 10 21 25 14 5请为该市制定一个设置消防站的最节省的计划.建立数学模型并求解.4. 要指派 4 名工人完成 4 项工作，每人做且只做一项工作，每人做各项工作的成本如下表：工作 A 工作 B 工作 C 工作 D工人甲 23 22 18 21工人乙 17 16 19 27工人丙 21 23 17 25工人丁 25 20 26 19问如何分配任务使总成本最低？最低总成本是多少？5. 设有 A、B、C 三个车间要生产甲、乙、丙三种零件。右表数据表示各车间在一天内至多生产的零件数目。假设2 件甲零件、1 件乙零件和 3 件丙零件配成一套，问如何安排生产才能使三个车间生产出的成套零件最多？请建立适当的数学模型，不必求解。6. 用层次分析法解决一个实际问题。比如你想购买一台电脑，要考虑各种功能，价格，外观等，如何作出决策

6、。7. 一组数 称为 n 阶幻方数组,如果 恰好12,nr (1,2)ijrinjn组成集合 .求出所有的 n 阶幻方数组.当 n=5,6 时,利用它们来构成 5,阶和 6 阶幻方.8. 若一个 n 阶幻方去掉第 1 行第 1 列和第 n 行第 n 列后,得到一个 n-2 阶广义幻方,则称这个幻方为 n 阶双重幻方.求出所有的 5 阶和 6 阶双重幻方.9.是否存在 2 阶广义幻方？请说明理由.习 题 七1. 求图 7.8.1 的最小生成树.2. 求图 7.8.2 从 v1 到 v10 的最短路.车间零件 A B C甲 10 15 10乙 11 17 14丙 13 12 21a bc d e fg h72126621 23 54334 47图 7.8.1v1 v10v2v3v4v5v6v7v8v98515121098910649 6 7596图 7.8.23. 写出图 7.8.2 的邻接矩阵.4. 求图 7.8.3 的网络最大流 ，其中弧旁数字为容量5. 根据下列资料绘制网络图，计算各项时间参数，并确定关键路线.工 序 紧前工序 工 时 工 序 紧前工序 工 时A G , M 3 G

7、B , C 4B H 4 H - 7C - 7 I A , L 3D L 3 K F , I 5E C 5 L B , C 6F A , E 5 M C 46. 借助数学软件, 观察图 7.6.1 的邻接矩阵 A 的不同的幂 r(正整数)的矩阵 Ar正元素个数, r 为多大时 Ar 是正矩阵?7. 编写匹配问题的 GS 算法的程序,并用此程序求出由下表给出的偏好的稳定匹配.男 人 女 人偏好顺序 a b c d e f A B C D E F一 C A B E D E a e b c b d二 B E A B A D f c a b f e三 A D E C C A e a d f a c四 F C D D B F b d e d d a五 E B C F F C d b f a c b六 D F F A E B c f c e e f习 题 八79V1V2V3V4V5V68295106图 7.8.31.利用动态规划方法证明均值不等式， （ ）njnjx1)(1njj ,21,02.某商店经营一种货物，该商店的最大库存为 10 吨.现在该货物库存为 5 吨，预计未来 4 个月内该货物的

8、进货价 ci(千元/吨)，售价 pi(千元/吨)，进货量xi(吨)，售货量 yi(吨)的关系为： 12 016 301 501 8962432,y.,y.p,y.p x.cxxxc设每月进货只能在月底到货，而月底存货在下一个月的库存费用为 0.5 千元/吨，试计划进货数量与售货数量使总利润最大.3. 若有 7 项任务要先后使用机器 A 和 B，各任务占用机器的时间如下表，求最佳任务加工顺序.任务机器 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7A 3 8 9 4 12 10 15B 5 2 1 6 7 11 134. 用 2 台机器 A 和 B 处理 n 个作业.设第 i 个作业交给机器 A 处理时需要时间ai, 若由机器 B 来处理,则需要时间 bi.由于各作业的特点和机器的性能关系,很可能不同的机器处理同一作业的时间不等，假定不能将一个作业分开由 2 台机器处理,也没有一台机器能同时处理 2 个作业.请设计一个动态规划算法,使得这 2 台机器处理完这 n 个作业的时间最短(从任何一台机器开工到最后一台机器停工的总时间).研究一个实例:(a1,a2,a3,a4,a5,a6)=(2,5,7

9、,10,5,2);(b1,b2,b3,b4,b5,b6)=(3,8,4,11,3,4)5.有一城市的街道如图所示，有人要从 A 点行驶到B 点，每条街道旁边的数字表示经过这条街道所需的时间（单位：分）.另外，每次右转弯需要 1 分钟，左转弯需要 2 分钟，请找出最省时间的路线.4 7 3 BA 5 7 8 7 6 4 38 3 5 64 3 6 44 5 75 4 5习 题 九1.在传送带模型中，设工人数 n 固定不变，在原来放置一个钩子的地方放两个钩子，那么每个工人在任何时刻可以同时触到两个钩子，只要有一个是空的，他就可以挂上产品，试问此时的传送带效率如何？2.在采购模型中，如果你能预先知道 5 周的原料价格，当然是按最低价购买全部原料, 则此时价格的期望值是多少？ 3.在求职过程中,设想有三家司给你面试机会,而且每家司都有三类不同的空缺职位：一般、较好、极好，其工资分别为年薪 2.5 万、3 万、4 万,估计得到这些职位的概率分别为 0.4,0.3,0.2, 有 0.1 的概率将得不到任何职位。由于每家公司都要求你在面试结束时表态接受或拒绝所提供的职位,问如何选择能使工资的期望值最高.4.某厂设计一种电子设备由三种元件 D1、D 2、D 3 组成，已知这三种零件的单价分别为 30、15、20 元，可靠性分别为 0.9、0.8、0.6，为了增加设备的可靠性，某些元件可装备用件，并设计有备用元件自动启动装置，要求设计中所使用元件费用不超过 105 元，试问应如何设计可使设备可靠性达到最大。习 题 十1. 某水果店以每千克 1.6 元的价格购进每筐重 100 千克的香蕉. 当天以每千克 2.4 元的价格出售,当天销售余下的香蕉再以平均每千克 1.2 元的处理价出售. 以筐为单位的需求情况由下表列出需求(筐) 1 2 3 4 5 6 7概率 0.10 0.15 0.25 0.25

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