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2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2课件：1.7.2　定积分在物理中的应用 Word版含解析

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常见问题

1、1.7.2定积分在物理中的应用,1.通过具体实例了解定积分在物理中的应用. 2.会求变速直线运动的路程、位移和变力做功问题,定积分在物理中的应用,做一做】若某物体在力F(x)=5x+3(单位:N)的作用下,沿与力相同的方向,从x=0处运动到x=5(单位:m)处,则F(x)做的功等于() A.75 J B.77.5 JC.79.5 J D.80 J,答案:B,1.在变速直线运动中,如何求路程、位移? 剖析在用定积分解决变速直线运动的位移与路程的问题时,分清运动过程中的变化情况是解题的关键,做变速直线运动的物体所经过的路程是位移的绝对值之和,从时刻t=a到时刻t=b所经过的路程s和位移s1如下,对于给出速度时间曲线求位移或路程的问题,关键是由图象得到速度的解析式及积分的上、下限,需要注意的是分段函数需分段求路程,然后求和,2.如何求变力做功? 剖析(1)求变力做功,要根据物理学的实际意义,求出变力F的表达式,这是求功的关键. (2)由功的物理意义,已知物体在变力F(x)的作用下,沿力F(x)的方向做直线运动,使物体从x=a移到x=b(ab).因此,求功之前还应求出物体移动的起始位置与终止

2、位置,题型一,题型二,题型三,求变速直线运动的路程、位移【例1】有一动点P沿x轴运动,在时间t时的速度为v(t)=8t-2t2(速度的正方向与x轴正方向一致).求: (1)点P从原点出发,当t=6时,求点P离开原点的路程和位移; (2)点P从原点出发,经过时间t后又返回原点时的t值. 分析:(1)解不等式v(t)0或v(t)0确定积分区间求t=6时的路程以及位移,题型一,题型二,题型三,解:(1)由v(t)=8t-2t20,得0t4, 即当0t4时,点P向x轴正方向运动, 当t4时,点P向x轴负方向运动. 故当t=6时,点P离开原点的路程为,出发的情况.故t=6是所求的值,题型一,题型二,题型三,反思1.用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时,将物理问题转化为数学问题是关键. 2.在变速直线运动中,路程是位移的绝对值之和,因此在求路程时,要先判断速度在区间内是否恒正,若符号不定,应求出使速度非负或非正的区间,然后分别计算,否则会出现计算失误.如本例第(1)小题求解时,易出现路程和位移相同的错误,题型一,题型二,题型三,变式训练1】一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况,在

3、此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是(,因此由v(t)=0可解得t=4,即汽车从刹车到停止共用4 s. 该汽车在此期间所行驶的距离,(4+25ln 5)(m). 答案:C,题型一,题型二,题型三,求变力所做的功【例2】设有一长为25 cm的弹簧,若加以100 N的力,则弹簧伸长到30 cm,又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比,求将弹簧由25 cm伸长到40 cm时拉力所做的功. 分析:先根据拉长弹簧所用的力与其伸长的长度成正比求拉力F(x)的解析式,然后用积分求变力所做的功. 解:设x表示弹簧伸长的量(单位:m),F(x)表示加在弹簧上的力(单位:N).由题意,得F(x)=kx, 且当x=0.05 m时,F(0.05)=100,即0.05k=100, 所以k=2 000.所以F(x)=2 000 x. 故将弹簧由25 cm伸长到40 cm时拉力所做的功为,题型一,题型二,题型三,反思解决变力做功注意以下两个方面: (1)将变力用其方向上的位移表示出来,这是关键的一步. (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题,题型一,题型二,题型三,变式训练2】如图,在某一

4、温度下,直径为0.2 m,高为0.8 m,上端为活塞的圆柱体内某气体的压强P(单位:N/m2)与体积V(单位:m3,函数关系为F=PS,其中S(单位:m2)为受力面积.设温度保持不变,要使气体的体积缩小为原来的一半,活塞克服气体压力要做多少功,题型一,题型二,题型三,解:设活塞运动的距离为x m,因为温度保持不变,气体的体积缩小一半. 所以活塞的位移为0.4 m. 活塞克服气体压力所做的功为,故活塞克服气体压力要做80ln 2 J的功,题型一,题型二,题型三,利用定积分求解其他物理问题【例3】 A,B两站相距7.2 km,一辆电车从A站开往B站,电车开出t s后到达途中的点C处,这一段速度为1.2t m/s,到C处的速度达24 m/s.从C处到B站前的D处以等速行驶,从D处开始刹车,经t s后,速度为(24-1.2t)m/s,在B处恰好停车.试求: (1)A,C间的距离; (2)B,D间的距离; (3)电车从A站到B站所需的时间,题型一,题型二,题型三,解:(1)设A到C经过t1 s,由1.2t1=24,得t1=20,于是所求时间为20+280+20=320(s). 反思本题是利用定积分解决物理问题,分清运动过程中的变化情况是解题的关键,题型一,题型二,题型三,变式训练3】有一横截面面积为4 cm2的水管控制往外流水,打开水管t s末的流速为v(t)=6t-t2(单位:cm/s)(0t6).试求从t=0 s到t=6 s这段时间内流出的水量. 解:由题意可得,t=0 s到t=6 s这段时间流出的水量,故从t=0 s到t=6 s这段时间内流出的水量为144 cm3

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