考研数学武忠祥17堂课讲义合并版(无水印)
243页1、 1 2021 考研武忠祥教授 17 堂课 2021 考研武忠祥教授 17 堂课 专题 1:求极限的方法和技巧 (一) 求极限的常用方法 方法 1 利用基本极限求极限 1)常用的基本极限 1 sin lim 0 = x x x , , ex x x =+ 1 )1 (lim 0 , , e x x x =+ ) 1 1 (lim a x a x x ln 1 lim 0 = ),0( a , 1lim= n n n ),0( , 1lim= aa n n + cba 【解】原式 x xxx cba + += 3 3 1lim 111 x cba xxx x ) 3 3 (lim 111 + x cba xxx x1 ) 1() 1() 1( lim 3 1 111 + = )lnln(ln 3 1 cba+= 3 lnabc= 原式 3 ln3 abce abc = 【例 5】 (2016 年,数二,数三,10 分)求极限.)sin22(coslim 4 1 0 x x xxx+ 3 1 e 【解 1】 3 【解 2】 【例 6】(2010 年 1) 极限._ )( lim 2 = +
2、 x x bxax x (A) 1. (B) (A) 1. (B) e. (C) . (C) ba e. (D) . (D) ab e. . 【解 1】 【解 2】 【例 7】._ ) 12() 12( )23() 32( lim 4850 3020 = + + xxx xx x ) 2 3 ( 30 【例 8】已知, 0 ) 12( ) 15)(14)(13)(12)(1( lim= + x xxxxx x ,则( ) (A). 5, ! 5= (B). 5, 2 ! 5 5 = (C). 5, 2 1 5 = (D). 4, 2 5 5 = )(B 【例 9】已知,16 ) 15)(14)(13)(12)(1( lim 0 = + x baxxxxxx x ,则( ) (A). 1, 1=ba (B). 1, 2=ba (C). 1, 5=ba (D). 1, 1=ba )(D 4 【例 10】设函数 1 lim)( 2 212 + + = + n n n x bxaxx xf,问ba,取何值时,)(xf在),(+上连续. 【解】 = + = + = + 【解】令,maxaai=则
3、 nn n n m nn nn maaaaa+L 21 aamaa nn n nn n = lim,lim 则 aaaa n n m nn n =+ L 21 lim 【注】这是一个常用结论. 【例 3】 (2008 年 4)设ba + x x x n nn n 【解】 =+ 2 , 1max) 2 (1lim 22 x x x x n nn n = ,2, 2 , 21, , 10, 1 2 x x xx x 【例 5】 n n n 1 2 1 1lim+ L 1 20 【例 6】 .) 1 1 () 2 1 1 () 11 (lim 2 2 n nnn n n + L e 【例 7】 )1ln( 1 2 1 1 lim n n n + + L 1 【例 8】 (I)比较+ 1 0 d)1ln(|ln|ttt n 与 1 0 d|ln|tttn ), 2 , 1(L=n的大小,说明理由; (II)记 += 1 0 d)1ln(|ln|tttu n n ), 2 , 1(L=n,求极限 n n u lim 【解】 (I)当10 t时,因为tt + )1ln(,所以|ln|)1ln(|l
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