03届 普通高等学校招生全国统一考试数学试题(天津卷)文科试卷及答案

1、2003年普通高校招生数学(文)统一考试(天津卷) （文史类）第卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）=P（A）+P（B） S=4R2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P（AB）=P（A）P（B）球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P.那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1不等式的解集是（ ）A（0，2）B（2，+）C（2，4）D（，0）（2，+）2抛物线y=ax2 的准线方程是y=2，则a的值为（ ）A BC8D83（ ）ABCD4已知（ ）ABCD5等差数列（ ）A48B49C50D516双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，F1MF2=120，则双曲线的离心率为（ ）ABCD7设函数若，则x0的取值范围是（ ）A（1，1）B（1，+）C（，2）（0，+）D（，1）（1，+）8O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则P的轨迹一定通过ABC的（ ）A外心B内心

2、C重心D垂心9函数的反函数为（ ）ABCD10棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）ABCD11已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2，P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tan=（ ）ABCD112一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A3B4CD6第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上.13展开式中的系数是 14某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆15在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的面面积与底面面积间的关系可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、AD

3、B两两相互垂直，则 ”16将3种作物种植在如图5块试验田里，每块种植一种 作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植 方法共有 种.（以数字答）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分） 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1.AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点P为BD1中点. （1）证明EF为BD1与CC1的公垂线； （2）求点D1到面BDE的距离.18（本小题满分12分） 已知抛物线C1：y=x2+2x和C：y=x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段. （）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程； （）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分.19（本题满分12分） 已知数列 （）求 （）证明20（本小题满分12分） 在三种产品，合格率分别是0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （）求恰有一件不合格的概率； （）求至少有两件不合格的概率. （精确到0.001）21（本小题满分12分） 已知

4、函数是R上的偶函数，其图象关于点 对称，且在区间上是单调函数.求的值.22（本小题满分14分） 已知常数a0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+i为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i2c为方向向量的直线相交于点P，其中R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.2003年普通高校招生数学(文)统一考试(天津卷) 答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分1C 2B 3B 4D 5C 6B 7D 8B 9B 10C 11C 12A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分13 146，30，10 15S2ABC+ S2ACD + S2ADB = S2BCD 1642三、解答题17本小题主要考查线面关系和四棱柱等基础知识，考查空间想象能力和推理能力，满分12分（1）证法一：取BD中点M.连结MC，FM . F为BD1中点 ， FMD1D且FM=D1D . 又ECCC1且ECMC ，四边形EFMC是矩形 EFCC1. 又CM面DBD1 .EF面DBD1 . BD

5、1面DBD1 . EFBD1 . 故EF为BD1 与CC1的公垂线. 证法二：建立如图的坐标系，得B（0，1，0），D1（1，0，2），F（，1），C1（0，0，2），E（0，0，1）.即EFCC1，EFBD1 . 故EF是为BD1 与CC1的公垂线. （）解：连结ED1，有VEDBD1=VD1DBE .由（）知EF面DBD1 ，设点D1到面BDE的距离为d.故点D1到平面DBE的距离为.18本小题主要考查导数、切线等知识及综合运用数学知识解决问题的能力，满分12分 （）解：函数y=x2+2x的导数y=2x+2,曲线C1在点P（x1,x+2x1）的切线方程是：y(x+2x1)=(2x1+2)(xx1),即 y=(2x1+2)xx 函数y=x2+a的导数y=2x, 曲线C2 在点Q（x2,x+a）的切线方程是即y(x+a)=2x2(xx2). y=2x2x+x+a . 如果直线l是过P和Q的公切线，则式和式都是l的方程， x1+1=x2所以 x=x+a.消去x2得方程 2x+2x2+1+a=0.若判别式=442（1+a）=0时，即a=时解得x1=，此时点P与Q重合.即当a=时C1和C2有

6、且仅有一条公切线，由得公切线方程为 y=x . （）证明：由（）可知.当a时C1和C2有两条公切线设一条公切线上切点为：P（x1,y1）, Q（x2 , y2 ）.其中P在C1上，Q在C2上，则有x1+x2=1,y1+y2=x+2x1+(x+a)= x+2x1(x1+1)2+a=1+a . 线段PQ的中点为同理，另一条公切线段PQ的中点也是所以公切线段PQ和PQ互相平分.19本小题考查数列，等比数列，等比数列求和等基础知识，考查运算能力，满分12分. （）a1=1 . a2=3+1=4, a3=32+4=13 . （）证明：由已知anan1=3n1,故所以证得.20本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C. （）P（A）=0.90，P（B）=P（C）=0.95. P=0.10 , P=P=0.05.因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为 P（AB）+P（AC）+P（BC） =P（A）P（B）P（）+P（A）P（）P（C）+P（）P（B）P（C） =20.900.950.05+0

7、.100.950.95 =0.176答：恰有一件不合格的概率为0.176. （）解法一：至少有两件不合格的概率为 P（A）+P（B）+P（C）+ P（） =0.900.052+20.100.050.95+0.100.052 =0.012. 答：至少有两件不合格的概率为0.012.解法二：三件产品都合格的概率为P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=0.900.952=0.812.由（）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1P（ABC）+0.176=1（0.812+0.176）=0.012答：至少有两件不合格的概率为0.012.21本小题主要考查三角函数的图象和单调性，奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满分12分. 解：由f(x)是偶函数，得f(x)= f(x). 即： 所以对任意x都成立，且所以得=0.依题设0，所以解得，由f(x)的图象关于点M对称，得.取x=0,得=，所以=0.22本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分14分 解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值. i=(1,0),c=(

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