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一元二次方程的解法及韦达定理 .

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1、印象剑桥培训讲义专用-九年级数学一元二次方程的解法及韦达定理编号：撰写人：审核：一、一元二次方程的解法：例题1：用配方法、因式分解、公式法解方程： x2-5x+6=0【总结】以上的三种方法之中，最简单的方法是哪一种？【一元二次方程的解法总结】1、直接法：对于形如x2=a的方程，我们可以用直接法。方程的解为x=推论：对于形如(x+a)2=b的方程也是用直接开方的方法。注意点：二次项的系数为1，且a0如果a为根式，注意化简。例1：解方程：5x2=1例2：解方程：x2= 例3：解方程：4x2+12x+9=122、配方法：对于形如：ax2+bx+c=0（其中a0）的方程，我们可以采用配方法的方法来解。步骤：把二次项的系数化为1. 两边同时除以a，可以得到： X2+ x+ =0 配方：（x+ ）2+c- =0 移项：（x+ ）2=-c 用直接法求出方程的解。 X=-注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。例：解方程：x2+x=13、公式法：对于形如：ax2+bx+c=0（其中a0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。根据配方法，我们可以得到方程的解为：X=-进一步变

2、形，就可以知道：形如：ax2+bx+c=0（其中a0）的方程的解为：x1=，x2=注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。解题步骤要规范。例:解方程：x2+5x+2=0除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。4、换元法对于一个方程，如果在结构上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题目有比较复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。例1：解方程：（x2+5x+2）2+(x2+5x+2)-2=0例2：解方程：5、有理化方法：对于一个方程，如果含有两个根式，并且这两个根式内的整式的和或者差是特定的数值，那就可以考虑用有理化的方法。例：解方程：6、主元法：对于一个方程，如果有两个未知数，那么，我们可以确定其中的一个为“主元“，将另一个未知数设定为常数，用公式法可以解出结果。例：解方程除了这种方法，遇到这种题目，你还有别的解法吗？二、判别式的运用：我们知道：方程ax2+bx+c=0（其中a0）的解为：x1=，x2=其中，我们把：=b2-4ac称之为判别式(1) 当0的时候，方程有两个不同的实数根。(2) 当=0的时候，方程有两个相同的实数根。(3) 当

3、0,b0,且a+2b+ab=30,求a、b为何值时，ab取得最大值。三、韦达定理对于方程ax2+bx+c=0（其中a0）的解为：x1=，x2=那么就有：x1+x2= ,x1x2= .除了这两个式子之外，还有几个，我们也必须要熟悉的：（1）|x1-x2|= （2）+ = (3) =注：以上的几个公式，教材没有提及，所以，运用的时候要加以证明，在做选择题或者填空题时可以直接运用。下面给出公式（1）的推理：|x1-x2|=韦达定理的应用：1、运用韦达定理求方程的解或者系数的范围。例题1：如果关于x的方程：例题2：已知关于x的方程(a2-1)x2-(a+1)x+1=0的两个根互为倒数，求a的值。2、构造方程进行计算：例题1：已知3a2+2a-1=0,3b2+2b-1=0。求|a-b|的值例题2：已知a,b,c都是整数，且有a+b+c=0,abc=16,求a、b、c三个数中的最大数的最小值。例题3：已知在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且SAOB=4,SCOD=9,求四边形ABCD面积的最小值。一元二次方程习题1、等腰ABC两边的长分别是一元二次方程x2-9x+18=0的两个解，求

4、这个三角形的周长。【举一反三】例题1：RtABC两边的长分别是一元二次方程x2-5x+6=0的两个解，求这个三角形的面积。例题2：矩形的两边的差为2，对角线的长为4，求矩形的面积。2、解方程：（1）x2-2=-2x；（2）x（x-3）+x-3=0；（3）4x2+12x+9=813、先化简，再求值：（a-1）（-1），其中a为方程x2+3x+2=0的一个根【举一反三】例题1：设a,b分别是方程x2+3x+1=0的两个根，求：(1)a2+b2+ab的值；（2）求a3+b3的值例题2：已知：5a2+12a-1=0,b2-12b-5=0,且：ab1，求：的值。4、关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，求a的取值范围。【举一反三】例题1：已知关于x的方程x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；（3）若以方程x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y的图象上，求满足条件的m的最小值例题2：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？例题3：已知a0,b0，且:a+2b+ab=30,求ab的最大值。5、若n（n0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，求m+n的值。6、关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a0），解方程方程a（x+m+2）2+b=0。7、设方程（x-a）（x-b）-x=0的两根是c、d，解方程（x-c）（x-d）+x=0。8、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人欢乐流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？解题方案：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，（）用含x的解析式表示：第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有人患了流感；（）根据题意，列出相应方程为；（）解这个方程，得；（）根据问题的实际意义，平均一个人传染了个人- 14 -一元二次方程专题

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