第6章机械振动精编版
64页1、第 6 章,振 动,1,物体在一定的位置附近做来回往复的运动。,机械振动:,振动:任何一个物理量在某个确定的数值附近作周期性的变化。,波动:振动状态在空间的传播。,任何复杂的振动都可以看做是由若干个简单而又基本的振动的合成。这种简单而又基本的振动形式称为简谐运动。,2,6-1-1 简谐运动的基本特征,1.弹簧振子:一根轻弹簧和一个质点构成的振动系统。,F,胡克定律:,(k为劲度系数),6-1 简谐运动,3,恢复力: 始终指向平衡位置的作用力,(1)在弹性限度内,弹性力F和位移x 成正比. (2)弹性力F和位移x 恒反向,始终指向平衡位置.,由牛顿第二定律:,得,令,方程解为:,4,2单摆,重力对水平轴的力矩:,转动定理:,即,5,很小,得,令,方程解为:,6,3.复摆,重力力矩为:,由转动定理,并考虑小角度摆动,令,则复摆的动力学方程:,方程解为:,7,简谐运动的三项基本特征:,运动的速度:,加速度:,8,周期T:完成一次全振动所经历的时间。,A :振幅 (最大位移,x =A ), :角频率 (圆频率),频率:单位时间内完成全振动的次数。,6-1-2 描述简谐运动的物理量,9,弹簧振子
2、的频率:,弹簧振子的周期:,结论:振动系统的频率和周期仅与系统本身的性质有关,而与其他因素无关。,由振动系统本身的固有属性所决定的频率和周期称为固有频率和固有周期。,单摆周期:,单摆频率:,10,称为速度幅。 速度相位比位移相位超前/2。,称为加速度幅。 加速度与位移反相位。, :振动的初相位 。,( t + ) :振动的相位 。,11,比较:,结论:做简谐运动的质点,其加速度与位移恒成正比,而方向相反。,即,12,解题方法,由初始条件求解振幅和初相位:,设 t = 0时,振动位移:x = x0,振动速度:v = v0,13,注意:,满足上式的初相位可能有两个值,具体取哪个值应根据初始速度方向确定。,14,例1 如图,在光滑的水平面上,有一弹簧振子,弹簧的劲度系数为1.60N/m,振子质量0.40kg,求在下面两种初始条件下的振动方程.(1)振子在0.10m的位置由静止释放;(2)振子在0.10m处向左运动,速度为0.20m/s.,解,(1),t=0, x0=0.10m, v0=0,15,(2),振动方程:,t = 0, x0 = 0.10m, v0 = -0.20m/s,振动方程:,
3、16,例2 如图,两轻质弹簧,弹性系数分别为k1和k2,两滑块质量分别为M和m ,叠放在光滑的桌面上,M与两弹簧连接着,M和m间存在摩擦,摩擦系数为.问m能跟随M一起水平运动,M的水平振动的最大振幅是多少?,解,m随M运动最大 加速度:,运动方程:,17,例3 如图,静止的弹簧振子质量M=4.99kg,一子弹质量m=10g以水平速度v0=1000m/s射入振子M并嵌入其中.弹簧的劲度系数k = 8103 N/m,水平桌面光滑,求振动系统的振动方程.,解,动量守恒:,18,机械能守恒:,振动方程:,19,旋转矢量A在 x 轴上的投影点 M 的运动规律:,结论:,投影点M的运动为简谐振动。,6-1-3 简谐运动的旋转矢量表示法,20,旋转矢量A旋转一周,M点完成一次全振动。,旋转矢量的模A:振幅,旋转矢量A的角速度:角频率,t = 0 时,A与x 轴的夹角 :初相位。,旋转矢量A与 x 轴的夹角( t+ ): 相位,周期:,21,例4 一质点沿x 轴作简谐振动,振幅为0.12m,周期为2s.当t = 0时,位移为0.06m,且向x 轴正方向运动.求:(1)振动方程;(2)如果在某时刻质点位
4、于x = -0.06m,且向x轴负方向运动,从该位置回到平衡位置所需最短时间.,解,(1)简谐振动表达式:,已知:A =0.12m , T = 2 s ,,初始条件:,t = 0 时, x0 = +0.06 m , v0 0,22,0.06 =0.12 cos ,振动方程:,(2)设在某一时刻 t1, x = - 0.06 m,23,用旋转矢量法求解, 直观方便.,24,例5 图为质点做简谐振动的x-t 曲线,求振动方程。,解,由旋转矢量图可知:,25,6-1-4 简谐运动的能量,振子动能:,振子势能:,26,谐振系统的总机械能:,27,(1) 振子在振动过程中,动能和势能分别随时间变化,但任一时刻总机械能保持不变。,(2) 动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。,(3)频率一定时,谐振动的总能量与振幅的平方成正比。(适合于任何谐振系统),结论:,弹性势能,28,例6 当简谐振动的位移为振幅的一半时,其动能和势能各占总能量的多少?物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半?,解,29,例7 如图U型管中的液体总长度为L,求该液体振动起来后的圆频率。,解,建立如图坐标系,解法一
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