2020年中考数学第一轮复习第1讲《三角形》尖子班解析版

1、中考第一轮复习三角形1中考大纲剖析 考试内容考试要求层次ABC三角形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边和角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题；能用三角形的内心、外心的知识解决简单问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题等腰三角形和直角三角形了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关问题会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题勾股定理及其逆定理已知直角三角形的两边长，会求第三边长会用勾股定理及其逆定理解决简单问题相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的

2、性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题锐角三角函数了解锐角三角函数（）；知道角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有角的三角函数式的值能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题本讲结构知识导航一、等腰三角形等腰三角形的两大特性图形 特性“等腰三角形中的三线合一”“底所在直线上的点到两腰的距离与腰上的高的关系”构造等腰三角形“垂直平分线造等腰”“平行线加角平分线”“平行线截等腰三角形”“圆构造等腰”特殊等腰三角形图形三边之比二、直角三角形1直角三角形的边角关系直角三角形的两锐角互余 三边满足勾股定理 边角间满足锐角三角函数2特殊直角三角形“等腰直角三角形”“含和的直角三角形”边的比：边的比：3直角三角形中的特殊线“直角三角形斜边中线”“直角三角形斜边高”三.尺规构造等腰三角形和直角三角形问题作图求点坐标“万能法”其他方法等腰三角形已知点A、B和直

3、线l，在l上求点P，使为等腰三角形“两圆一垂”分别表示出点A、B、P的坐标，再表示出线段AB、BP、AP的长度，由AB=AP AB=BPBP=AP列方程解出坐标作等腰三角形底边的高，用勾股或相似建立等量关系直角三角形已知点A、B和直线l，在l上求点P，使为直角三角形“两垂一圆”分别表示出点A、B、P的坐标，再表示出线段AB、BP、AP的长度，由列方程解出坐标作垂线，用勾股或相似建立等量关系四.全等三角形全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等全等三角形的判定：SSS；SAS；ASA；AAS；HL在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合.五.相似三角形相似三角形的性质： 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 相似三角形的判定： 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； 两角对应相等，两三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 三边对应成比例，两三角形相似相似三角形的基本模型： 【编写思路】由于三角形的知识点非常

4、多，本讲只针对三角形中的重要考点来编写的，侧重于等腰三角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形，由于相似三角形在中考中考察的分值较少，而且简单，所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习，不对学生做太高要求.另外，我们在每一讲中，针对当前考试的热点和难点，设计一种“系列探究”， 使得每一讲有一个复习亮点，为我们第一轮复习锦上添花.本讲的探究是：由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最值问题”.模块一 特殊三角形夯实基础【例1】 （1）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的 个数是（ ）A.6 B.7 C.8 D.9（2）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，且 是直角三角形，则满足条件的点的坐标为 （2010顺义一模）（3）如图所示，在ABC中，BC=6，E，F分别是AB，AC的中点，点P在射线EF上，BP交CE于D，点Q在CE上且BQ平分CBP，设BP=，PE=.当CQ=CE时，与之间的函数关系式是 ； 当CQ=CE（为不小于2的常数）时， 与之间的函数关系式是 . （2012东城期末）（4）

5、已知：如图，在中，点在边上，点 在边的延长线上，且，连接交于求证： （2012海淀期中）【解析】（1）C，“两圆一垂”； （2）（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）.“两垂一圆”确定四个点之后，用勾股求得； （3）y= x+6；y= x+6(n1) 提示：延长BQ与射线EF相交，由“平行线加角平分线”得到等腰三角形；（4）证明：过D点作AC的平行线交BC于点G， 则B=ACB=BGD；BD=DG=CE； 易证DFGEFC；DF=EF. 注：本题方法很多，还可以过D作BC平行线，或过E作AB的平行线，由“平行线截等腰三角形”得新等腰三角形.能力提升【例2】 （1）如图，正方形的边长为2, 将长为2的线段的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点为止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到点为止，那么在这个过程中，线段的中点所经过的路线围成的图形的面积为（ ） （2010宣武一模）A. 2 B. 4 C. D. （2）如图，在中，C=90，AC=4，BC=2，点A、C分别在x 轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动， 在 运动过

6、程中，点B到原点的最大距离是（ ）A. B C D 6 （2010西城二模）以下探究主题为：几何最值问题【探究1】如图，在中，C=90，AC=4，BC=3，点A、C分别在x 轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最小距离是_.【探究2】如图，在Rt中，C=90，tan，BC=6，点D在边AC上，且，连结BD，F为BD中点，将线段AD绕点A旋转，在旋转过程中线段CF长度的最大值为_，最小值为_.【探究3】 如图，在Rt中，ACB=90，B=30，CB=，点D是平面上一点且CD=2，点P为线段AB上一动点，当ABC绕点C任意旋转时，在旋转过程中线段DP长度的最大值为_，最小值为_.【探究4】如图，Rt中，C=90，ABC=30，AB=6点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是_【解析】（1）C，由“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可知BM、CM、CM、AM均等于FQ的一半，于是M的轨迹围成一个半径为1的圆； （2）A，如图1，取AC中点D，连结OD、BD，当O、D、B三点共线时，OB的值最大；探究

7、1：如图2，取AC中点D，连结OD、BD，当O、D、B三点共线时，OB的值最小，最小值为；探究2：如下图1，取AB中点M，连结FM、MC，可知FM=4，MC=.如下图2，当FC=MC+FM时，FC取得最大值，如下图3，当FC=MC-FM时，FC取得最小值；探究3：“ABC绕点C旋转”等价于“CD绕点C旋转”，如下图1，连结CP，当PD=PC+CD时，PD最大，当PD =PC-CD时，PD最小. 如图2，当P与B重合，PD取最大值为，如图3，当CPAB时，PD取最小值为探究4：，如图1，当E与C或B重合时，AD最大，如图2，当DEBC时，AD最小.【点评】动线段最值的求法一般可总结为两种方法（仅供参考）：（1）将动线段作为一个三角形的一边，且另两边为定值，但是形状可变化，如下左图，“外共线”值最大，“内共线”值最小（已知AB、BP为定值，求动线段AP的最大或最小值）；（2）如下右图，垂线段最短，端点处最大（已知点P是线段BC上的动点，求线段AP的最大或最小值）. 模块二 全等三角形夯实基础【例3】 在ABC中，AB=AC，BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD.（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，BCE=150，ABE=60，判断ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若DEC=45，求的值. （2013北京中考）【解析】（1）；（2）为等边三角形，连接、线段绕点逆时针旋转得到线段则，又 且为等边三角形.在与中 （SSS） 在与中 （AAS） 为等边三角形（3），又 为等腰直角三角形 而 【点评】第（2）问考察的是一类由旋转形成的全等模型，如图，若 为等腰三角形（AB=AC）；为等腰三角形（AD=AE）； 以上三个命题有二推一，通常两个三角形为等边三角形. 此题欲证为等边三角形，已知为等边三角形，则需证即可.能力提升【例4】 等边三角形的边长为个单位长度，点、分别从点、同时出发，以每秒个单位长度向点、运动（到达点、时停止运动） 如图1，连接、相交于点证明：，

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