最新基本不等式教案
4页1、 基本不等式教案一、教学目标:1、知识与技能:了解基本不等式的推导过程,理解几何意义,并掌握基本不等式取得等号的条件;能够初步运用基本不等式以及等号取得的条件,求出一些简单函数的最值(最大最小值),并能解决一些较为简单的实际问题。2、过程与方法:本节内容是学生对不等式认识上的一次提升。要引导学生从数、形两方面探究基本不等式的证明,从而进一步突破难点。定理的证明要严密,要帮助学生分析每一步的理论依据,培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等严密严谨的思维能力。3、情感与价值:培养学生举一反三的逻辑推理能力、严谨求实的科学态度,领略数学的应用价值,激发学生的学习兴趣。同时通过基本不等式的几何解释,提高学生数形结合的能力。二、教学重点和难点:a + b重点:用数形结合思想理解不等式,并从不同角度探索不等式的多种解释;ab 2难点:理解“当且仅当 = 时取等号”的数学内涵,并会应用基本不等式求解函数的最a b大最小值问题,以及解决一些简单的实际问题.。三、学法与教学用具:先让学生观察常见的图形,通过图形的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题突出数学本质,可调动学生的学习兴趣。定理的证明要留
2、一部分给学生,让他们自主探究。教学用具:直角板、圆规、投影仪,如有条件可以使用多媒体(几何画板)进行教学。四、教学设想:1、几何操作,引入问题:给出如右的所示的几何图形,是 e 的直径,点 C 是OA BA B上任意一点,过点 C 作垂直于的弦交 e O 于 ,连D DA B结、,同学们,能通过这个圆以及简单的三角形得到一B DA D些相等和不等的关系吗?提问一:现在我们不妨假设2,那么 CD 的长度是多少?、BC = bAC = a2由为直径可知是直角三角形,再根据 DC AB ,容易证得 DDABDDDCB ,A B即得 CD = ab ;提问二:根据初中学习的知识,在一个圆中,任意一条弦长与这个圆的直径有什么关系?任意一条弦长不大于直径的长度,而且当且仅当弦为直径时,长度相等。提问三:结合上面两个问题,我们可能得到一个不等式,写出这个不等式,并说出等式两遍能否相等,若可以,等号成立的条件是什么?1首先由垂径定理可知, ,因此有 = 2ab ,即为 e O 的一条弦长,而C D = D DDD2表示的是 e O 直径的长度,根据上一问的结论可以得知有不等式2,两a2+ b2a2+
3、b2 ab a2+ b2边同时除以 ,不等式可以表示为:;再据上一问的结论,易知上述不等式可2ab2以成立当且仅当时(即当点 与圆心 重合时),等号才成立。C Oa = ba2+ b2提问四:深入思考,如果将不等式中的用替换,能够得到什么bab , b,aa2结论;这时,有什么条件限制吗?a , b替换之后,不等式即变为a 0 ,b 0。a + b,当且仅当时等号成立;此时要求有ab = ba22、代数证明,得到结论:根据上面的几何分析结果,我们初步形成不等式结论:+ b 2ab,则a22a + b若a, b R+ab2提问五:能否给出上述两个不等式严格的证明?(学生尝试证明后口答,老师板书)证明(作差法):Q a + b - ab = a - b2() ;222又 当 时, (a - b)a b0 ;当 = 时, (a - b)a b=0 ;Q22 a + b 2ab,当时取等号。22a = b(注意强调:当且仅当 a = b 时, 有等式a2成立)+ b= ab22证明(分析法):由于a, b R ,于是+a + b要证,ab2只要证,a + b 2 ab要证,只要证 a + b
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