高中数学北师大版选修4-4同步配套教学案:第一章 §1 平面直角坐标系
13页1、1平面直角坐标系对应学生用书P11平面直角坐标系与曲线方程(1)平面直角坐标系中点和有序实数对的关系:在平面直角坐标系中,点和有序实数对是一一对应的(2)平面直角坐标系中曲线与方程的关系:曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹,在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)0的实数解建立了如下的关系:曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)0的解;以方程f(x,y)0的解为坐标的点都在曲线C上那么,方程f(x,y)0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)0的曲线(3)一些常见曲线的方程:直线的方程:axbyc0;圆的方程:圆心为(a,b),半径为r的圆的方程为(xa)2(yb)2r2;椭圆的方程:中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为2a,短轴长为2b的椭圆方程为1;双曲线的方程:中心在原点,焦点在x轴上,实轴长为2a,虚轴长为2b的双曲线方程为1;抛物线的方程:顶点在原点,以x轴为对称轴,开口向右,焦点到顶点距离为的抛物线方程为y22px.2平面直角坐标系中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换,即改变x轴或y轴的单位长度,将会对图形产生影响1如何根据题设条件建
2、立适当的平面直角坐标系?提示:如果图形有对称中心,选对称中心为坐标原点;如果图形有对称轴,选对称轴为坐标轴;使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上;如果是圆锥曲线,所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程2平面直角坐标系中的伸缩变换可以改变图形的形状,那平移变换呢?提示:平移变换仅改变图形的位置,不改变它的形状、大小对应学生用书P1平面直角坐标系中曲线方程的确定与应用例1(1)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,求椭圆G的方程(2)在边长为2的正ABC中,若P为ABC内一点,且|PA|2|PB|2|PC|2,求点P的轨迹方程,并画出方程所表示的曲线思路点拨本题是曲线方程的确定与应用问题,考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等解答此题中(1)需要根据已知条件用待定系数法求解;(2)需要先建立平面直角坐标系,写出各点的坐标,用直接法求解,再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线精解详析(1)由已知设椭圆方程为1(ab0),则2a12,知a6.又离心率e,故c3.b2a2c236279.椭
3、圆的标准方程为1.(2)以BC所在直线为x轴,BC的中点为原点,BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,设P(x,y)是轨迹上任意一点,又|BC|2,B(1,0),C(1,0),则A(0,);|PA|2|PB|2|PC|2,x2(y)2(x1)2y2(x1)2y2.化简得x2(y)24.又P在ABC内,y0.P点的轨迹方程为x2(y)24(y0)其曲线如上图所示为以(0,)为圆心,半径为2的圆在x轴上半部分圆孤1求曲线方程的方法:(1)已知曲线类型求方程一般用待定系数法;(2)求动点轨迹方程常用的方法有:直接法:如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系,即可直接求曲线的方程,步骤如下:a建立适当的平面直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;b写出适合条件P的点M的集合PM|P(M);c用坐标表示条件P(M),写出方程f(x,y)0;d化简方程f(x,y)0;e检验或证明d中以方程的解为坐标的点都在曲线上,若方程的变形过程是等价的,则e可以省略定义法:如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可依定义写出轨迹方程代入法(相关点法):如果动点P(x,y)依赖于另一
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