高中数学北师大版选修4-4同步配套教学案：第一章 &amp#167;1 平面直角坐标系

1平面直角坐标系对应学生用书P11平面直角坐标系与曲线方程(1)平面直角坐标系中点和有序实数对的关系：在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的(2)平面直角坐标系中曲线与方程的关系：曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解；以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上那么，方程f(x，y)0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)0的曲线(3)一些常见曲线的方程：直线的方程：axbyc0；圆的方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的方程为(xa)2(yb)2r2；椭圆的方程：中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆方程为1；双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线方程为1；抛物线的方程：顶点在原点，以x轴为对称轴，开口向右，焦点到顶点距离为的抛物线方程为y22px.2平面直角坐标系中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响1如何根据题设条件建立适当的平面直角坐标系？提示：如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点；如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴；使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上；如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程2平面直角坐标系中的伸缩变换可以改变图形的形状，那平移变换呢？提示：平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状、大小对应学生用书P1平面直角坐标系中曲线方程的确定与应用例1(1)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G的方程(2)在边长为2的正ABC中，若P为ABC内一点，且|PA|2|PB|2|PC|2，求点P的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线思路点拨本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等解答此题中(1)需要根据已知条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线精解详析(1)由已知设椭圆方程为1(a>b>0)，则2a12，知a6.又离心率e，故c3.b2a2c236279.椭圆的标准方程为1.(2)以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设P(x，y)是轨迹上任意一点，又|BC|2，B(1,0)，C(1,0)，则A(0，)；|PA|2|PB|2|PC|2，x2(y)2(x1)2y2(x1)2y2.化简得x2(y)24.又P在ABC内，y>0.P点的轨迹方程为x2(y)24(y>0)其曲线如上图所示为以(0，)为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆孤1求曲线方程的方法：(1)已知曲线类型求方程一般用待定系数法；(2)求动点轨迹方程常用的方法有：直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：a建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；b写出适合条件P的点M的集合PM|P(M)；c用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)0；d化简方程f(x，y)0；e检验或证明d中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则e可以省略定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程代入法(相关点法)：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求参数法：动点P(x，y)的横坐标、纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程2根据曲线的方程画曲线时，关键根据方程判定曲线的类型，是我们熟知的哪种曲线，但要注意是曲线的全部还是局部1在ABC中，底边BC12，其他两边AB和AC上中线CE和BD的和为30，建立适当的坐标系，求此三角形重心G的轨迹方程解：以BC所在直线为x轴，BC边中点为原点，过原点且与BC垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(6,0)，C(6,0)，|BD|CE|30，可知|GB|GC|(|BD|CE|)20，重心G的轨迹是以(6,0)，(6,0)为焦点，2a20的椭圆，且y0，其轨迹方程为：1(x10)利用坐标法解决平面几何问题例2如图，以RtABC的两条直角边AB，BC向三角形外作正方形ABDE和正方形BCFG，连接EC，AF，且EC，AF交于点M，连接BM.求证：BMAC.思路点拨本题考查坐标法在解决平面几何中垂直、平行、线段相等、平分等问题中的应用，解答此题需要先建立适当的平面直角坐标系，设出相关点的坐标，求出相关线的方程，求出kBM，kAC，证明kBMkAC1，即可精解详析如图，以两条直角边所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系设正方形ABDE和正方形BCFG的边长分别为a，b，则A(0，a)，B(0,0)，C(b,0)，E(a，a)，F(b，b)直线AF：，即(ab)xbyab0；直线EC：，即ax(ab)yab0.解方程组得即M点的坐标为.故kBM.又kAC，kBMkAC1，BMAC.坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第三步，把代数运算结果翻译成几何结论2已知正ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2|PB|2|PC|2最小，并求出此最小值解：以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C.设P(x，y)，则|PA|2|PB|2|PC|2x222y22y23x23y2ay3x232a2a2，当且仅当x0，ya时，等号成立，所求最小值为a2，此时P点坐标为P，它是正ABC的中心平面直角坐标系中的伸缩变换例3在下列平面直角坐标系中，分别作出1的图形(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍思路点拨本题考查平面直角坐标系中的伸缩变换对图形的影响及数形结合思想，解决此题只需根据坐标轴的伸缩变换找出变换后x轴、y轴单位长度的变化情况，再作出图形即可精解详析(1)建立平面直角坐标系使x轴与y轴具有相同的单位长度，则1的图形如图.(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，则1的图形如图.(3)如果y轴上的单位长度不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，则1的图形如图.一般地，在平面直角坐标系xOy中：(1)使x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍(k>0)，则当k1时，x轴与y轴具有相同的单位长度；即为的伸缩变换，当k>1时，相当于x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，即为的伸缩变换，当0<k<1时，相当于y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的k倍，即为的伸缩变换(2)在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线.本例中若x轴的单位长度为y轴上单位长度的，则椭圆1的图形如何？解：如果y轴上的单位长度不变，x轴的单位长度缩小为原来的，即则1的图形变为圆本课时主要考查平面直角坐标系中曲线的求解，常与平面几何知识结合考题印证设>0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线yx2上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足，求点P的轨迹方程命题立意本题考查直线和抛物线的方程、平面向量的概念、性质与运算、动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养自主尝试由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2y0(yx2)，即y0(1)x2y.再设B(x1，y1)，由，即(xx1，y0y1)(1x,1y0)，解得将式代入式，消去y0，得又点B在抛物线yx2上，所以y1x，再将式代入y1x，得(1)2x2(1)y(1)x2，(1)2x2(1)y(1)2x22(1)x2，2(1)x(1)y(1)0.因>0，两边同除以(1)，得2xy10.故所求点P的轨迹方程为y2x1.对应学生用书P4一、选择题1方程x2xy0的曲线是()A一个点B一条直线C两条直线 D一个点和一条直线解析：选C方程变形为x(xy)0，x0或xy0，而方程x0，xy0表示的是直线，C正确2已知ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，且sin Bsin Csin A，若以底边BC为x轴、底边BC的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A的轨迹方程是()A.1B.1(x3)C.1 D.1(x3)解析：选B由题意知，B(6,0)，C(6,0)由sin Bsin Csin A得bca6，即|AC|AB|6.所以点A的轨迹是以B(6,0)，C(6,0)为焦点，2a6的双曲线的左支且y0.其方程为1(x<3)3已知一椭圆的方程为1，如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的，则该椭圆的形状为()解析：选B如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，则该椭圆的形状为选项B中所示4平面内有一条固定线段AB，|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，O为AB的中点，则|OP|的最小值是()A. B.C2 D3解析：选A以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一部分.2c4，c2,2a3，a.b2c2a24.点P的轨迹方程为1(x)由图可知，点P为双曲线与x轴的右交点时，|OP|最小，|OP|的最小值是.二、填空题5已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x21，则点P的轨迹方程是_解析：由题意得(