广东省肇庆市实验中学高中数学（理）选修2-3 3.1回归分析的基本思想及其初步应用 学案

1、【选修2-3】 3.1回归分析的基本思想及其初步应用（知识回顾：数学3（必修）第84页“2.3变量间的相关关系”）一、学习要求1.了解相关关系、正相关、负相关、回归直线的概念；2.通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用。3.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相互关系；4.能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。二、先学后讲1变量间的相关关系变量间确实存在关系，但又不具备函数所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，也就是一种非确定性关系。2散点图把从研究某两个变量的关系中获取得的容量为 n 的样本数据用点的形式表示为(x1,y1)，(x2,y2)，(xn,yn)，称这样的一些点为样本点。把样本点画在平面直角坐标系上，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图。（把 x 称为解释变量，把 y 称为预报变量。）画散点图的目的是通过变量的散点图判断两个变量更近似于什么样的函数关系，以确定是否直接用线性回归模型来拟合原始数据。3.相关关系的分类散点图中点的分布位置是在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，称

2、为正相关。（也就是说，正相关指的是两个变量有相同的变化趋势，即从整体上看一个变量会随另一个变量变大而变大，这在散点图上反映就是散点的分布在斜率大于0的直线附近。）散点图中点的分布位置是在从左上角到右下角的区域，对于两个变量的这种相关关系，称为负相关。（也就是说，负相关指的是两个变量有相反的变化趋势，即从整体上看一个变量会随另一个变量变大而变小，这在散点图上反映就是散点的分布在斜率小于0的直线附近。）例如：对变量 x ，y 有观测数据 (xi，yi) （i=1，2，10），得散点图(1)；对变量u ，v 有观测数据 (ui，vi) （i=1，2，10），得散点图(2)由这两个散点图可以判断变量 x 与y 有负相关关系，u ，v 有正相关关系。4.两个变量的线性相关关系对于散点图，可以做出如下判断：如果所有样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系。如果所有样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系。如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，其方程称为回归直线方程。【这里“

3、大致”的意思是指：这样的直线不止一条，在整体上与这个点最接近的一条即为回归直线。像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样，这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表。】5回归直线方程（1）当两个具有相关关系的变量近似地满足一次函数关系时，所求出的函数关系 y=bx+a 就是回归直线方程。（2）回归方程 y=bx+a 中的 b（称为回归系数）由公式：求出。（计算时，先求出， ）；再由求出的值，并写出回归直线方程。（3）回归直线方程 y=bx+a 中的 b 表示 x 增加1个单位时，y 的变化量为 b。它是回归直线的斜率的估计值。（4）可以利用回归直线方程 y=bx+a 预报在 x 取某一个值时，y 的估计值。但这里所得到的值是预报值，而不是精确值，它带有很大的随机性，可能对于某一次实际值而言会有很大的出入。（5）设样本点为 (x1,y1)，(x2,y2)，(xn,yn)，则(x,y)称为样本点的中心。回归直线 y=bx+a 一定过这一点。（对于单变量样本数据而言，平均数是样本数据的中心，类似地对双变量样本而言，回归直线是样本点的中心。）三、问题探究合作探究例1从某大学中随机选取8名女

4、大学生，其身高和体重数据如下表所示：编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359（1）以身高为自变量 x ，体重为因变量 y ，画出散点图；（2）求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。解：（1）根据表中数据，画出散点图如右图所示。（2） x=18(165+165+157+170+175 +165+155+170)=165.25 ，y=1848+57+50+54+64+61+43+59=54.5 ，i=18xiyi=16548+16557+15750+17054+17564 +16561+15543+17059=72315 ，i=18xi2=1652+1652+1572+1702+1752+1652 +1552+1702=218774 ， 线性回归方程为：y=0.849x-85.797 .当 x=172 时，y=0.849x-85.797=0.849172-85.797=60.231 ，即身高为172cm的女大学生的预报体重为 60.231 kg 。【方法归纳

5、】第一步：作散点图； 第二步：求回归直线方程：y=bx+a ；第三步：用回归直线方程进行预报。自主探究1已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是（ ）。Ay=1.23x+4 By=1.23x+5 Cy=1.23x+0.08 Dy=0.08x+1.23 【解析】设回归直线的方程为 y=bx+a ，依题意可知， b=1.23，又样本点的中心 (4，5) 在直线上，即 5=1.234+a ，得 a=0.08 ，所以回归直线的方程为 y=1.23x+0.08 。故选 C 。2厂某产品产量 x （千件）与单位成本 y （元）满足回归直线方程是y=77.36-1.28x，则下列说法正确的是（ ）。 （答案：A ）A产量每增加1000件，单位成本下降1.82元B产量每减少1000件，单位成本上升1.82元C产量每增加1000件，单位成本上升1.82元D产量每减少1000件，单位成本下降1.82元四、总结提升本节课你主要学习了 。五、问题过关1.一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，

6、随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：转速 x（转/秒）1614128每小时生产有缺点的零件数 y（件）11985（1）画出散点图并判断它们是否有相关关系；（2）如果 y 与 x 有线性相关关系，求回归直线方程（精确到0.001）；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？解：（1）散点图如下：由以上散点图可以看出，这些点近似在一条直线附近上下波动，故 y 和 x 具有相关关系。（2）x=1416+14+12+8=12.5 ， y=1411+9+8+5=8.25 ，i=18xiyi=1611+149+128+85438 ， i=18xi2=162+142+122+82660， a=y-bx=8.25-0.72912.5-0.863 ,回归直线方程为：y=0.729x-0.863 .（3）令0.729x-0.86310，解得 x14.90115，所以机器的运转速度应控制在每秒15转内。【选修2-3】 3.1回归分析的基本思想及其初步应用（知识回顾：数学3（必修）第84页“2.3变量间的相关关系”）一、学习要求通过典型案

7、例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用。二、问题探究合作探究例1关为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间 x（单位：小时）与当天投篮命中率 y 之间的关系：时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4（1）求小李这5天的平均投篮命中率；（2）用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率。（线性回归方程y=bx+a中系数计算公式，其中，表示样本均值。）解：（1）小李这5天的平均投篮命中率为：；（2）小李这5天打篮球的平均时间为：（小时）；，线性回归方程为：。当 x=6 时，故预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53。自主探究1 x ，y 的取值如下表：x0134y2.24.34.86.7从散点图分析，与 x 线性相关，回归直线方程为 y=0.95x+a，当x=10 时，则 y 的值是 。解： x=140+1+3+4=2 ，y=142.2+4.3+4.8+6.7=4.5 ， a=y-0.95x=4.5-0.952=2.6 ， y=0.95x+2.6 ，当x=10 时，y=0.

8、9510+2.6=12.1 .四、总结提升本节课你主要学习了 。五、问题过关1.下表是某厂14月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y4.5432.5由散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y=-0.7x+a ，则a= （ ）。A5.25 B5.15 C5.2 D10.5【解析】x=2.5，y=3.5，回归直线方程必过定点(x，y)， 3.5=-0.72.5+a ， a=5.25 。故选 A 。2.某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：价格（元/kg）1015202530日需求量（kg）1110865（）求关于的线性回归方程；（）当价格元/kg时，日需求量的预测值为多少？解: () ， ，所求线性回归方程为。()由()知当时, ，当价格元/ kg时，日需求量的预测值为kg。【选修2-3】 3.1回归分析的基本思想及其初步应用一、学习要求1通过典型案例的探究，了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用；2了解随机误差 e 、解释变量 x 、预报变量 y 、残差和残差图的意义、残差平方和的意义；3相关指数 R2计算公式及其意义，并能通过相关指的大小评价模型的拟合效果。二、先学后讲1回归分析（阅读课本选修12第2页至第5页）对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。用回归分析的方法对两个具有

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