2020年中考数学复习 中点专题练习

1、中点专题 1 65 中点专题 中点专题 2 65 目录 秘籍一 见中点 倍长中线 5 方法说明 5 应用场合 5 典例解析 6 题型分类 9 题型一倍长中线 9 题型二 倍长中线应用之证明线段不等 11 题型三 倍长中线应用之证明线段相等 11 题型四 倍长中线应用之证明线段倍分 12 题型五 倍长中线应用之证明线段垂直 12 题型六 用中线倍长法来证明或计算角的大小关系 12 提高训练 16 秘籍二 见中点 或等分点 作平行用相似 19 秘籍三 见多个中点 构造中位线 24 三角形的中位线 24 三角形中位线性质运用 中点四边形 28 巩固练习 32 梯形中位线 38 秘籍三 见等腰三角形底边中点 连接顶点与中点 构造三线合一 43 秘籍四 见垂直平分线 构造等腰三角形 48 秘籍五 见直角三角形与中点 构造斜边上中线 49 秘籍六 中线 58 题型一 中线等分三角形的面积 58 题型二 三角形中线有关的周长问题 59 题型三 三角形中线的线段求值和证明问题 59 题型四 三角形中线有关的面积问题 62 秘籍六 圆中的中点 63 题型一 圆心是中点问题 63 题型二 弧的中点问题 6

2、4 题型三 圆中弦的中点 65 中点专题 3 65 中点专题 联想是一种非常重要的数学品质 善于联想 才能更好的寻求解决问题的方法 当你遇到中 点时 你会产生哪些联想呢 学习完本专题后 能给你带来一定的启示 看到中点该想到什么 1 等腰三角形中遇到底边上的中点 常联想 三线合一 的性质 2 直角三角形中遇到斜边上的中点 常联想 斜边上的中线 等于斜边的一半 3 三角形中遇到两边的中点 常联想 三角形的中位线定理 4 两条线段相等 为全等提供条件 遇到两平行线所截得的线段的中点时 常联想 八字 型 全等三角形 5 有中点时常构造垂直平分线 6 有中点时 常会出现面积的一半 中线平分三角形的面积 7 倍长中线 8 圆中遇到弦的中点 常联想 垂径定理 知识点睛 线段的中点把线段分成相等的两部分 图形中出现中点 可以引起我们丰富的联想 首先它 和三角形的中线紧密联系 若中点是在直角三角形的斜边上 又可以引用 斜边上的中线等于斜 边的一半 结论 其次 中点又与中位线息息相关 另外 中点还可以与中心对称相连 在线段 的计算 线段倍分关系的证明 角的相等关系的证明 两直线位置关系的判定等方面有广泛的

3、应 用 解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线 如作中线倍长 作直角三角形的斜边上的中线 构造三角形 梯形中位线 构造中心对称图形等 熟悉以下基本图形 基本结论 如图所示 中点专题 4 65 技巧提炼 1 已知任意三角形一边上的中点 可以考虑 1 倍长中线或类中线 与中点有关的线段 构造全等三角形 2 三角形中位线定理 2 已知直角三角形斜边中点 可以考虑构造斜边中线 3 已知等腰三角形底边中点 可以考虑与顶点连线用 三线合一 4 有些题目的中点不直接给出 此时需要我们挖掘题目中的隐含中点 例如直角三角形中斜边 中点 等腰三角形底边上的中点 当没有这些条件的时候 可以用辅助线添加 小结 等腰三角形底边中点 考虑三线合一 斜边中点 考虑斜边上的中线 一般中点 考虑中线倍长或构造中位线 中点专题 5 65 秘籍一 见中点 倍长中线 方法说明 所谓 中线倍长 就是加倍延长中线 使所延长部分与中线相等 然后往往需要连接相 应的顶点 则对应点 对应边都相等 中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系 中线倍长其实就是通过图形旋转来构造三角形全等 从而把分散的已知条件集中起来加以利用 所以中线

4、倍长的辅助线也可以转化为添平行线 同样能达到解决问题的效果 秘籍 倍长中线或类中线 与中点有关的线段 构造全等三角形 倍长中线或类中线 与中点有关的线段 构造全等三角形 倍长中线做法 遇到三角形的中线时 首先考虑的辅助线是将中线延长一倍 使延长线段 与原中线长相等 构造全等三角形 利用的思维模式是全等变换中的 旋转 解读 凡是与中点连线的线段都可看作是中线 都可以考虑倍长中线 倍长中线的目的可以 旋转等长度的线段 从而达到将条件进行转化的目的 构成八字全等 应用场合 添加辅助线 倍长中线 目的就是构造全等三角形 因此往往可用来求线段长 角的度数 用来证明角相等 线段与线段之间的和 差 倍 分等数量关系 还可以用来证明两条线的位 置关系 中点专题 6 65 典例解析 例 1 如图 已知 ABC中 AD是中线 AE是 ABD的中线 BA BD 求证 2ACAE 提示 思路 1 如图 1 延长AE到点F 便得EF AE 连接DF 思路 2 如图 2 延长AF到点 F 使得EF AE 连接BF 图 1图 2 证 1 延长AE到点F 使得EF AE 连接DF AE是 ABD的中线 BE DE A

5、BE FDE SAS DF AB FDE B AD是 ABC的中线 BD DC BA BD DF DC BAD 2 ADC B BAD ADF 2 FDE ADC ADF ADF ADC AF AC AF 2AE AC 2AE 证 2 略 技巧点评 本题将AE延长加倍的好处 如果连接DF 则可得 ABE FDE 如果连接BF 则可证明 ADE FBE 由全等三角形我们能得出一些相等的线段和相等的角 从而为问题的 最终解决创造条件 中点专题 7 65 例 2 如图 ABC中 AB AC E为AB上一点 F为AC延长线上一点 且BE CF EF交BC于D 求证 DEDF 提示 思路 1 如图 过点E作EG AF 交BC于G 思路 2 如图 过点F作FH AB 交BC延长线于点H 思路 3 如图 分别过点E 点F作EM BC于M FH BC 交BC的延长线于H 1 证 1 作EG AF交BC于G 1 ACB 2 F 又 AB AC B ACB 1 B BE GE BE CF GE CF 在 EDG和 FDC中 2 GECF F EDGFDC EDG FDC DE DF 其余证法类似 技巧点评

6、 本题作辅助线的方法有多种 都是由中点构造X型的基本图形来解决问题的 总结 两条线段相等 为全等提供条件 遇到两平行线所截得的线段的中点时 常联想 八 字型 全等三角形 中点专题 8 65 例 3 如图 梯形 ABCD 中 A 90 AD BC AD 1 BC 2 CD 3 E 为 AB 中点 求证 DE EC E D C B A 例 4 如图 6 所示 已知梯形 ABCD AD BC 点 E 是 CD 的中点 连接 AE BE 求证 S ABE 2 1 S四边形 ABCD 分析 如果直接证明 是不容易 联想到 AD BC 点 E 是 CD 的中点 我们延长 AE 与 BC 的 延长线交于点 F 这样 我们就构造出一对八字型的三角形 并且这对三角形是全等的 这样 就把三角形 ADE 迁移到三角形 ECF 的位置上 问题就好解 决了 证明 如图 7 所示 延长 AE 与 BC 的延长线交于点 F AD BC ADE FCE DAE CFE 又 点 E 是 CD 的中点 DE CE ADE FCE AE EF S ABE S BEF S BEF S BEC S ECF S BEC S AD

7、E S ABE S BEC S ADE S ABE S BEC S ADE S四边形 ABCD 2 S ABE S四边形 ABCD S ABE 2 1 S四边形 ABCD 中点专题 9 65 题型分类 题型一倍长中线 例 1 已知 如图 ABC 中 AB 4 AC 6 AD 为 BC 边上的中线 则线段 AD 的取值范围是 分析 倍长中线造全等 简解 延长 AD 到 E 使 DE AD 连接 BE 则 BDE CDA BE AC 6464AE 15AD 巩固 如图 ABC中 BD DC AC E是DC的中点 求证 AD平分 BAE 例 2 如图 已知在 ABC中 AD是BC边上的中线 E是AD上一点 延长BE交AC于F AF EF 求证 AC BE 中点专题 10 65 巩固 1 如图 在 ABC中 AD交BC于点D 点E是BC中点 EF AD交CA的延长线于点F 交AB于点G 若BG CF 求证 AD为 ABC的角平分线 巩固 2 在 Rt ABC中 A 90 点D为BC的中点 点E F分别为AB AC上的点 且 ED FD 以线段BE EF FC为边能否构成一个三角形 若能 该三角

8、形是锐角三角形 直角三角形或钝角三角形 中点专题 11 65 题型二 倍长中线应用之证明线段不等 例 3 如图在 ABC中 AD为BC边上的中线 求证 AB AC 2AD 题型三 倍长中线应用之证明线段相等 例 4 如图 2 在 ABC中 AB AC E为BC边的中点 AD为 BAC的平分线 过E作AD的 平行线 交AB于F 交CA的延长线于G 求证 BF CG A 2 3 G BEDC F 1 BDC A 中点专题 12 65 ADBE C H G F E 2 BDC 1 M A 3 题型四 倍长中线应用之证明线段倍分 例 5 如图 4 CB CD分别是钝角 AEC和锐角 ABC的中线 且AC AB 求证 CE 2CD 题型五 倍长中线应用之证明线段垂直 例 6 如图 分别以 ABC的边AB AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH M为FH的 中点 求证 MA BC 题型六 用中线倍长法来证明或计算角的大小关系 例 7 如图所示 点E是BC边的中点 CDAB 求证 DBAE 中点专题 13 65 例 8 如图 ABC 中ACAB D E在BE上 且ECDE 过D作ABDF 交

9、 AE于点F ACDF 求证 AE平分BAC 例 9 如图所示 在ABC 中 AD是BC边上的中线 ACAD 于点A ACAB2 求BAC 的度数 变式训练 如图所示 已知ABC 中 ACDC D为BC边的中点 E为DC边的中点 求证 AD平分BAE CAEB 中点专题 14 65 例 10 如图 在ABC 中 AD平分BAC E是BC中点 F是CA延长线上一点 连接 EF交AB于点G 且CFBG 求证 EFAD 变式训练 如图所示 分别以ACAB 为边向外作正方形ABEF和正方形ACMN 取BC的中 点D 连接FNAD 判断线段AD和FN的位置关系和数量关系 中点专题 15 65 例 11 如图所示 90 EADBACM是BD的中点 ADAEACAB 求证 CEAM 变式训练 在矩形ABCD中 点F在AD延长线上 DCDF M为AB边上一点 N为MD 的中点 点E在直线CF上 点E C不重合 1 如图 若BCAB 点M A重合 E为CF的中点 试探究BN与NE的位置关系及 BM CE 的值 并证明你的结论 2 如图 若BCAB 点M A不重合 NEBN 你在 1 中得到的两个结论是否

10、成立 若成立 加以证明 若不成立 请说明理由 中点专题 16 65 提高训练 例 1 如图 在正方形ABCD中 E为AB边的中点 G F分别为AD BC边上的点 若 EFGEBFAG 21 求GF的长 例 2 如图 在ABC 中 AD是BC边上的中线 过点B作射线BE 分别交AC AD于 E F若3 2 FDAF 求3 1 ECAE的值 中点专题 17 65 例 3 如图 已知M为ABC 中BC边上的中点 AMCAMB 的平分线分别交AB AC 于点E F 连接EF 求证EFCFBE 例 4 如图 ABC 中 AD是BAC 的平分线 ECBE 过E作ADGH 交AC AD AB的延长线于H F G 求证 BGABAC2 中点专题 18 65 变式训练 在ABC 中 90BAC ACAB M是BC边的中点 BCMN 交AC于点 N 动点P从点B出发 沿射线BA以每秒3个长度单位运动 联结MP 同时Q从点N出发 沿射线NC以一定的速度运动 且始终保持MPMQ 设运动时间为x秒 1 求证 NMQBMP 2 若 60B 34 AB 设APQ 的面积为y 求y与x的函数关系式 3 判断BP PQ

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