2020年中考数学复习动点最值专题

1、动点最值专题 动点最值专题 1 2 动点最值专题动点最值专题 近几年有关 线段最值 的中考试题层出不穷 形式多样 往往综合 了几何变换 函数等方面的知识 具有一定的难度 具有很强的探索性 通过研究发现 这些问题尽管形式多样 背景复杂 变化不断 但都可以 通过几何变换转化为常见的基本问题 最值题目类型多 作图 计算 有求差最大 求和最小 求周长最小 求时间最短 求最值 已知最值求待定系数等 对称载体多 几乎涉及到 初中全部的轴对称图形 角 线段 等腰三角形 等腰梯形 菱形 正方 形 抛物线 圆 坐标轴 我们知道 对称 平移 旋转 是三种保形变换 通过这三种几何变 换可以实现图形在保持形状 大小不变的前提下而使其位置发生变化 具 有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形 通过几何变换移 动线段的位置是解决最值问题的有效手段 题目是千变万化的 但是运用 几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的 数学问题是千变万化的 几何变换的应用也不是单一的 有些问题需 要多种变换的组合才能解决 看看以下策略对解决问题能否奏效 1 去伪存真 刨去不变的线段 看清楚究竟是几段和的最小值问 题 必须仔

2、细研究题目的背景 搞清楚哪些是动点 哪些是定点 哪些是 定长 2 科学选择 捕捉题目的信号 探索变换的基础 选择变换的手 段 平移把不 连 的线段 接 起来 旋转把 碰头 的线段 展 开 来重 接 对称把在同侧的线段翻折过去重组 因此 不连 平移 碰 动点最值专题 2 2 头 旋转 同侧 对称 是一般的思路 对称变换的基础是轴对称图 形 平移变换的基础是平行线 旋转变换的基础是等线段 所以选择哪种 几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息 3 怎么变换 对称变换一般以动点所在直线为对称轴 构建定点 直 线 的对称点 直线 如有多个动点就必须作多次变换 平移一般是移动 没有公共端点的两条线段中的某一条 与另一条对 接 旋转变换一般以 定点为旋转中心旋转 60 或 90 4 怎么求值 几何变换成了 两折线 或 三折线 后 根据 两 点之间线段最短 或 垂线段最短 把 折线 转 直 找出最短位置 求出最小值 动点最值专题 1 2 目录目录 一 一条线段最值 1 1 1 单动点型单动点型 1 1 11 1 动点运动轨迹动点运动轨迹 直线型直线型 1 1 21 2 动点运动轨迹动点运动轨迹 圆

3、或圆弧型圆或圆弧型 9 1 2 1 定点定长 9 1 2 2 定弦定角 14 1 31 3 动点轨迹为其他曲线 构造三角形动点轨迹为其他曲线 构造三角形 24 2 2 双动点型双动点型 27 2 12 1 利用等量代换实现转化利用等量代换实现转化 27 2 22 2 利用和差关系实现转化利用和差关系实现转化 28 2 32 3 利用勾股定理实现转化利用勾股定理实现转化 28 2 42 4 利用三角形边角关系实现转化利用三角形边角关系实现转化 29 二 两条线段最值二 两条线段最值 30 1 1 PA PBPA PB 型型 30 1 11 1 两定一动 将军饮马 两定一动 将军饮马 30 1 21 2 两定两动两定两动 39 过河拆桥 39 四边形周长最小 42 1 31 3 一定两动一定两动 44 两动点不随动 44 动点最值专题 2 2 1 41 4 三动点三动点 48 2 2 PA PA K K PBPB 型型 49 2 12 1 胡不归模型胡不归模型 49 2 22 2 阿氏圆阿氏圆 66 三三 费马点费马点 模型模型 73 线段极值解题方略线段极值解题方略 77 动点最值专题

4、1 77 一 一条线段最值 1 1 单动点型单动点型 所谓的单动点型指 所求线段两端点中只有一个动点的最值问题 通 常解决这类问题的思考步骤为三步 一 分析 源动点 的不变量 二 分析 从动点 与 源动点 问关系 三 分析 从动点 的不变量 1 11 1 动点运动轨迹动点运动轨迹 直线型直线型 动点轨迹为一条直线 利用动点轨迹为一条直线 利用 垂线段最短垂线段最短 例 1 如图 1 在ABC 中 30CAB 1 BC D为AB上一动点 不与点A 重合 AED 为等边三角形 过D点作DE的垂线 F为垂线上任一点 G 为EF的中点 则线段CG长的最小值是 方法指导方法指导 1 当动点的运动轨迹是一条直线 射线 线段 时 可运用 垂 线段最短 性质求线段最值 2 有时动点轨迹不容易确定 如例 1 建议 看到 中点 联想 三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线 等性 质 3 试着观察 动点运动到一些特殊位置时 该动点与其他定点连结的 线段是否与已知边有一 定角 产生 若成立 则动点轨迹为直线 如何在动态问题中找寻如何在动态问题中找寻 不变量不变量 特征是突破这类问题的关键 特征是突破这类问题的

5、关键 动点最值专题 2 77 当一个点的坐标以某个字母的代数式表示 若可化为一次函数 则点的当一个点的坐标以某个字母的代数式表示 若可化为一次函数 则点的 轨迹是直线 轨迹是直线 1 在平面直角坐标系中 点P的坐标为 0 2 点M的坐标为 m 1 3 4m 9 4 其中 m为实数 当PM的长最小时 m的值为 2 如图 在平面直角坐标系中 A 1 4 B 3 2 C m 4m 20 若OC恰好平分四边形 OACB 的面积 求点C的坐标 当某一动点到某条直线的距离不变时 该动点的轨迹为直线 当某一动点到某条直线的距离不变时 该动点的轨迹为直线 1 如图 矩形ABCD中 AB 6 AD 8 点E在边AD上 且AE ED 1 3 动 点P从点A出发 沿AB运动到点B停止 过点E作EF PE交射线BC于 点F 设M是线段EF的中点 则在点P运动的整个过程中 点M运动路线 的长为 C B A P M F ED 引例图 A B O x y 定直线 定长 动点最值专题 3 77 变式 变式 1 1 如图 矩形ABCD中 AB 6 AD 8 点E在BC边上 且BE EC 1 3 动点P从点B出发 沿BA

6、运动到点A停止 过点E作EF PE 交边AD或CD于点F 设M是线段EF的中点 则在点P运动的整个过程中 点M运动路线的长为 变式 1 图 变式 变式 2 2 如图 在矩形ABCD中 点P在AD上 AB 2 AP 1 E是AB 上的一个动点 连接PE 过点P作PE的垂线 交BC于点F 连接EF 设 EF的中点为G 当点E从点B运动到点A时 点G移动的路径的长 是 变式变式 3 3 在矩形ABCD中 AB 4 AD 6 P是AD边的中点 点E在AB 边上 EP的延长线交射线CD于F点 过点P作PQ EF 与射线BC相交于 点Q 1 如图 1 当点Q在点C时 试求AE的长 2 如图 2 点G为FQ的中点 连结PG 变式 2 图 动点最值专题 4 77 当AE 1 时 求PG的长 当点E从点A运动到点B时 试直接写出线段PG扫过的面积 2 如图 C D是线段AB上两点 且AC BD 1 6AB 1 点 P是线段CD上 一个动点 在AB同侧分别作等边 PAE和等边 PBF M为线段EF的中点 在点P从点C移动到点D时 点M运动的路径长度为 变式 3 图 1图 2备用图 第 2 题图变式 1 图

7、变式 2 图变式 3 图 动点最值专题 5 77 变式 变式 1 1 已知AB 10 点C D在线段AB上且AC DB 2 P是线段CD 上的动点 分别以AP PB为边在线段AB的同侧作正方形APEF和正方形 PBGH 点O1和O2是这两个正方形的中心 连接O1O2 设O1O2的中点为Q 当 点P从点C运动到点D时 则点Q移动路径的长是 变式变式 2 2 等边三角形ABC中 BC 6 D E是边BC上两点 且BD CE 1 点P是线段DE上的一个动点 过点P分别作AC AB的平行线交AB AC于点M N 连接MN AP交于点G 则点P由点D移动到点E的过程中 线段BG扫过的区域面积为 变式变式 3 3 如图 四边形ABHK是边长为 6 的正方形 点C D在边AB上 且AC DB 1 点P是线段CD上的动点 分别以AP PB为边在线段AB的 同侧作正方形AMNP和正方形BRQP E F分别为MN QR的中点 连接EF 设EF的中点为G 则当点P从点C运动到点D时 点G移动的路径长为 O2 O1 变式 1 图 变式 2 图 变式 3 图 动点最值专题 6 77 3 如图 已知在四边形ABC

8、D中 AD BC AB BC AD 1 BC 3 P为 AB边上的一动点 连接PD并延长到点E 使得PD PE 1 3 以PE PC 为边作平行四边形PEFC 连接PF 则PF的最小值为 延伸延伸 在四边形ABCD中 AB CD BC CD AB 3 CD 4 在BC上取 点P P与B C不重合 连接PA延长至E 使PE PA x 1 连接PD并 延长到F 使PF PD y 1 x y 1 以PE PF为边作平行四边形 另 一个顶点为G 求PG长度的最小值 用x y表示 同型练同型练 如图 已知 OABC的顶点A C分别在直线x 1 和x 4 上 O 是坐标原点 则对角线OB长的最小值为 延伸图 同型练图 第 3 题图 动点最值专题 7 77 当某一动点与定线段一个端点连接后成的角度不变 则该动点轨迹是直当某一动点与定线段一个端点连接后成的角度不变 则该动点轨迹是直 线 线 1 如图 ABC和 ADE都是等腰直角三角形 BAC DAE 90 AB AC 2 O为AC中点 若点D在直线BC上运动 连接OE 则在点D运动 过程中 线段OE的最小值是为 变式变式 1 如图 边长为 2a的等边

9、 ABC中 M是高CH所在直线上的一个 动点 连接MB 将线段BM绕点B逆时针旋转 60 得到BN 连接HN 则在 点M运动过程中 线段HN长度的最小值是 2 在 ABC中 ACB 90 AC BC 4 M为AB的中点 D是射线BC 上一个动点 连接AD 将线段AD绕点A逆时针旋转 90 得到线段AE 连 接ED N为ED的中点 连接AN MN 定直线 图 1图 2图 3 第 1 题图变式图 动点最值专题 8 77 1 如图 1 当BD 2 时 AN NM与AB的位置关系是 2 当 4 BD 8 时 依题意补全图 2 判断 1 中NM与AB的位置关系是否发生变化 并证明你的结论 3 连接ME 在点D运动的过程中 求ME的长的最小值 3 在 ABC中 BAC 90 AB AC 2cm 线段BC上一动点P从C点 开始运动 到B点停止 以AP为边在AC的右侧做等边 APQ 则Q点运动 的路径长为 动点最值专题 9 77 1 21 2 动点运动轨迹动点运动轨迹 圆或圆弧型圆或圆弧型 动点轨迹为定圆 利用三点共线动点轨迹为定圆 利用三点共线 方法指导 1 当动点的轨迹是定圆时 可利用 一定点与圆

10、上的动点 距离最大值为定点到圆心的距离与半径和 最小值为定点到圆心的距离与 半径差 性质求解 2 试着观察 动点与其他定点连结的线段长是否为 定值 或动点与两定点构成的角是否为直角 这是常见判断动点轨迹 是圆的条件 1 2 11 2 1 定点定长定点定长 动点到定点的距离不变动点到定点的距离不变 则点的轨迹是圆或圆弧 则点的轨迹是圆或圆弧 1 如图 1 在正方形 ABCD 中 边长为 2 点 E 是 AB 的中点 点 F 是 BC 边 上任意一点 将 BEF 沿 EF 所在直线折叠得到 PEF 连接 AP 则 CP 的最 小值 AP 的最小值是 图 1 1 如图 正方形ABCD的边长为 2 将长为 2 的线段QF的两端放在正方形 相邻的两边上同时滑动 如果点Q从点A出发 沿图中所示方向按 A B C D A滑动到点A为止 同时点F从点B出发 沿图中所示方向 按A B C D A B滑动到点B为止 那么在这个过程中 线段QF的中 点M所经过的路线围成的图形的面积为 动点最值专题 10 77 变式变式 1 1 在矩形ABCD中 已知AB 2cm BC 3cm 现有一根长为 2cm 的 木棒

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