江苏省苏州市第五中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理201905020370

1、1 苏州五中苏州五中 2018 20192018 2019 学年第二学期期中调研测试学年第二学期期中调研测试 高二数学 理科 高二数学 理科 2019 4 一 填空题一 填空题 本大题共本大题共 1414 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 计计 7070 分分 不需写出解答过程不需写出解答过程 请把答案写在答题请把答案写在答题 纸的指定位置上纸的指定位置上 1 已知复数 若 则实数a 3zai 5z 2 已知 则实数n的值为 2 30 n A 3 二项式的展开式中第 5 项的二项式系数为 用数字作答 6 2 x x 4 已知 是虚数单位 复数对应的点在第 象限 i 3 12 i z i 5 有 4 种不同的蔬菜 从中选出 3 种 分别种植在不同土质的 3 块土地上进行实验 则不 同的种植方法共 种 6 已知直线l的方向向量为 平面的法向量为 1 1 2 e 1 1 R 2 n 若 则实数的值为 l 7 用数字 1 2 3 4 5 组成没有重复数字的五位数 其中奇数的个数为 8 已知随机变量X的概率分布为P X i i 1 2 3 4 则P 22 f 8 f 16 3 1 2 1 3

2、 1 n 3 2 5 2 f 32 7 2 则可以归纳出一般结论 当n 2 时 有 10 某工厂生产 10 个产品 其中有 2 个次品 从中任取 3 个产品进行检测 则 3 个产品中至 多有 1 个次品的概率为 11 在的二项式中 所有项的二项式系数之和为 256 则常数项等于 n x x 2 3 12 将A B C D E排成一排 要求在排列中 顺序为 ABC 或 CAB 可以不相邻 这样 的排法有 种 用数字作答 13 如图 一个地区分为 5 个行政区域 现给地图着色 要求相邻 区域不得使用同一种颜色 现在有4种颜色可供选择 则不同的 2 着色方法共有 种 以数字作答 14 祖暅原理 两个等髙的几何体 若在所有等高处的水平截面的面积相等 则这两个几何 体 的 体 积 相 等 利 用 祖 暅 原 理 可 以 求 旋 转 体 的 体 积 如 设 半 圆 方 程 为 222 0 0 xyryr 半圆与x轴正半轴交于点A 作直线xr yr 交于点P 连接OP O为原点 利用祖暅原理可得 半圆绕y轴旋转所得半球的体积与 OAP绕y 轴旋转一周形成的几何体的体积相等 类比这个方法 可得半椭圆

3、22 22 1 yx ab 0 0 aby 绕y轴旋转一周形成的几何体的体积是 二二 解答题解答题 共共 6 6 大题大题 满分共满分共 9090 分分 解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 请请 把答案写在答题纸的指定区域内把答案写在答题纸的指定区域内 15 本小题满分 14 分 已知复数在复平面内所对应的点为 2 22 2 6 6 2 2 z zm mm mm mm mi i m mR R A A 1 若复数为纯虚数 求实数的值 4 4z zm m m m 2 若点在第二象限 求实数的取值范围 A Am m 3 求的最小值及此时实数的值 z zm m 16 本小题满分 14 分 已知 1111 1 1 1 1 14732 f nn n N 3 31 g nnn N 1 当时 分别比较与的大小 直接给出结论 1 2 3n f n g n 2 由 1 猜想与的大小关系 并证明你的结论 f n g n 3 17 本小题满分 14 分 已知 1 2 2 n x 1 若展开式中第 5 项 第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列 求展开式

4、中二项式系数 最大的项的系数 2 若展开式前三项的二项式系数和等于 79 求展开式中系数最大的项 18 本小题满分 16 分 如图 已知正四棱锥中 点分别在上 且PABCD 2 PAAB M N PA BD 1 3 PMBN PABD 1 求异面直线与所成角的大小 MNPC 2 求二面角的余弦值 NPCB 4 19 本小题满分 16 分 某商场为刺激消费 让消费达到一定数额的消费者参加抽奖活动 抽奖方案是 顾客从一个 装有 2 个红球 3 个黑球 5 个白球的袋子里一次取出 3 只球 且规定抽到一个红球得 3 分 抽到一个黑球得 2 分 抽到一个白球得 1 分 按照抽奖得分总和设置不同的奖项 记某位顾 客抽奖一次得分总和为X 1 求该顾客获得最高分的概率 2 求X的分布列和数学期望 20 本小题满分 16 分 已知 4 1 2 2 2 210 2 Nnxaxaxaa x n n n 1 若 求a3的值 256 625 2210 n aaaa 2 求证 12 1 Nn n an 3 若存在整数k 0 k 2n 对任意的整数m 0 m 2n 总有 成立 这样的 km aa k是否唯一 并说

5、明理由 5 6 苏州五中苏州五中 2018 20192018 2019 学年第二学期期中调研测试学年第二学期期中调研测试 高二数学 理科 参考答案 一 填空题一 填空题 1 2 3 4 四 5 24 4 615 6 7 8 9 f 2n n N N 10 1 2 72 7 10 n 2 2 14 15 11 12 13 14 2 2 3 ab 1124072 二 解答题二 解答题 15 解 1 由 2 分 2 2 2 2 5 56 60 0 2 20 0 m mm m m mm m 解得 4 分 6 6m m 注 未舍解的扣 2 分 2 由 6 分 2 2 2 2 6 60 0 2 20 0 m mm m m mm m 解得或 8 分 3 32 2m m 1 12 2m m 3 9 2 2 2 22 22 22 2 6 6 2 2 z zm mm mm mm m 分 令 11 分 2 2 9 9 2 2 4 4 m mm mt t 则 12 分 8 82 22 21 16 68 82 2 2 22 2 2 2 t tt tt tz z 所以当即时 13 分 2 2t t 1 11 17

6、 7 2 2 m m 有最小值 14 分 z z2 2 2 2 16 证明证明 1 当时 1n 1 2f 3 1 4g 1 1 fg 当时 2n 5 2 2 f 3 2 7g 2 2 fg 当时 4 分 3n 20 3 7 f 3 3 10g 3 3 fg 7 2 猜想 即 6 分 f ng n nN 3 1111 1 1 1 1 31 14732 n n 下面用数学归纳法证明 当时 上面已证 7 分 1n 假设当时 猜想成立 即 nk 3 1111 1 1 1 1 31 14732 k k 则当时 1nk 10 分 3 111111 1 1 1 1 1 1 31 1 147323131 f kk kkk 3 34 31 31 k k k 2 3 34 31 k k 因为 所以 13 分 22 33 31 34 kk 3 2 3 34 34 1 31 k kg k k 所以 当时猜想也成立 1nk 综上可知 对 猜想均成立 14 分 n N N 17 解 1 C C 2C n2 21n 98 0 4n6n5n n 7 或n 14 2 分 当n 7 时 展开式中二项式系数最大的项是T4和

7、T5 T4的系数为 C 423 3 7 1 2 35 2 T5的系数为 C 324 70 4 分 4 7 1 2 当n 14 时 展开式中二项式系数最大的项是T8 T8的系数为 C 727 3 432 6 分 7 14 1 2 2 C C C 79 n2 n 156 0 0n1n2n n 12 或n 13 舍去 8 分 设Tk 1项的系数最大 12 12 1 4x 12 1 2 2x 1 2 Error 9 4 k 10 4 k 10 展开式中系数最大的项为T11 13 分 T11 C 2 210 x10 16 896x10 14 分 1012 1 2 18 证明 1 设 交于点 在正四棱锥中 平面 ACBDOPABCD OP ABCD 8 所以 以为坐标原点 2PAAB 2OP ODA 方向 AB 分别是轴 轴正方向 建立空间直角坐标系 xyOxyz 如图 2 分 则 1 1 0 A 1 1 0 B 1 1 0 C 1 1 0 D 0 0 2 P 故 211 2 2 3333 OMOAAMOAAP 11 1 0 33 3 ONOB 所以 22 2 0 33 MN 1 1 2 PC 3

8、 cos 2 MNPC MN PC MN PC 所以与所成角的大小为 8 分 MNPC 6 2 1 1 2 PC 2 0 0 CB 4 2 0 3 3 NC 设是平面的一个法向量 则 x y z mPCB0PC m0CB m 可得 令 即 10 分 20 0 xyz x 0 x 2y 1z 0 2 1 m 设是平面的一个法向量 则 111 x y z nPCN0PC n0CN n 可得 令 即 12 分 111 11 20 20 xyz xy 1 2x 1 4y 1 2z 2 4 2 n 5 25 33 cos 33322 m n m n m n 则二面角的余弦值为 16 分 NPCB 5 33 33 19 解 1 该顾客抽奖一次 当抽到 2 个红球 1 个黑球时 得分总和最高为 8 分 2 分 D N M A B C P 第18题图 O x y z 9 得分为 8 分的概率为 21 23 3 10 8 C C P X C 31 12040 4 分 2 由题意知 袋子中共有 10 个球 3 P X 3 5 3 10 10 120 C C 4 P X 12 35 3 10 30 120

9、C C C 5 P X 1221 2535 33 1010 35 120 C CC C CC 6 P X 1113 2353 33 1010 31 120 C C CC CC 7 P X 2112 2523 33 1010 11 120 C CC C CC 21 23 3 10 8 C C P X C 3 120 13 分 X 3 4 8 时算对一种得 1 分 X 5 6 7 时算对一种得 2 分 所以 X 的数学期望 10303531113 345678 120120120120120120 E X 61251 5 1 12010 15 分 答 1 该顾客获得高分的概率是 1 4 2 X 的数学期望为 5 1 16 分 20 解 1 取 有解得 2 分 1 x 2 0122 1625 1 4256 n n aaaa 2 n 此时 4 分 16 1 4 1 33 43 Ca 2 下面证明 n n n n C a 4 2 12 1 4 2 n C n n n 当时 左 右 左 右 命题成立 6 分 1 n 2 1 3 1 假设当时 命题成立 有 kn 12 1 4 2 k C k k k

10、 10 则时 1 kn 2 4 1 1 22 12 4 1 1 1 22 4 1 4 211 1 22 kk k k kk kk kC kkk k k 22 12 12 32 32 1 12 1 1 12 2 4 1 k k k k kkk k 命题也成立 32 1 22 12 32 32 1 2 kk kk k 由上知 即 10 分 12 1 4 2 n C n n n n N 12 1 n ann N 3 由题意知 是中的最大项 k a 0122 n a a aa 2 4 k n k k C a 1 2 1 1 4 k n k k C a 所以 10 分 1 2 1 12 2 421 2 2 44 4 1 21 kk kn kk kn n aCnkknk n aCk knk 12 kn k N 令 得 设小于或等于的最大整数为 则 21 1 4 nk k 21 5 n k 21 5 n M 当时 故 时取等号 1kM 1kk aa 011MM aaaa 21 5 n M 当时 故 14 分 2Mkn 21 1 4 nk k 1kk aa 12MMn aaa 所以当时 满足条件的正整

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