高数学精品复习教案 计数原理概率随机变量及其分布

1、20132013 高三数学精品复习教案：第十一章高三数学精品复习教案：第十一章 计数原理、概率、随机变量及其计数原理、概率、随机变量及其分布分布11.211.2 概率概率【高考目标定位高考目标定位】一、随机事件的概率一、随机事件的概率1 1考纲点击考纲点击（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；（2）了解两个互斥事件的概率加法公式。2 2热点提示热点提示（1）多以选择题或填空题的形式直接考查互斥事件的概率及运算，而随机事件的有关概念现时频率很少直接考查；（2）互斥事件、对立事件发生的概率问题有时也会出现在解答题中，多为应用问题。二、古典概型二、古典概型1 1考纲点击考纲点击（1）理解古典概型及其概率计算公式；（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。2 2热点提示热点提示（1）古典概型的考查主要是等可能事件的概率的求法，通常要结合互斥事件、对立事件求概率；（2）出题形式多样，各种题型均有可能出现。三、几何概型三、几何概型1 1考纲点击考纲点击（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；（2）了解几何概型的意义。2 2热点

2、提示热点提示（1）以几何概型的定义和公式为依据，重在掌握常见的两种几何度量长度、面积；（2）主要考查几何概型的理解和概率的求法，多以选择题和填空题的形式出现。【考纲知识梳理考纲知识梳理】一、随机事件的概率一、随机事件的概率1 1事件事件（1）在条件 S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件 S 的必然事件；（2）在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件 S 的不可能事件；（3）在条件 S 下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件 S 的随机事件。2 2概率和频率概率和频率（1）用概率度量随机发生的可能性大小能为我们的决策提供关键性的依据；（2）在相同条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例为事件 A 出现的频率；An( )A nnfAn（3）对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频繁随着试验次数的增加稳定于概率 P（A） ，( )nfA因此可以用频率来估计概率 P（A） 。( )nfA注：注：频率和概率的区别是频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率

3、的科学抽象。当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率。3事件的关系与运算事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含事件 A（或称事件 A 包含于事件 B）()BAAB或相等关系若且，那么称事件 A 与事件 B 相等BAABA=B并事件（和事件）若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，则称此事件为事件A 与事件 B 的交事件（或和事件）AB（或 A+B）交事件（积事件）若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，则称此事件为事件A 与事件 B 的交事件（或积事件）AB（或 AB）互斥事件若 AB 为不可能事件，那么称事件 A 与事件 B 互斥AB=对立事件若 AB 为不可能事件，AB 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件注：互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的。在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生。所以，两个事件互斥，他们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥。也就是说

4、，两个事件对立是这两个事件互斥的充分而不必要条件。4 4概率的几个基本性质概率的几个基本性质（1）概率的取值范围：0P（A）1；（2）必然事件的概率 P（E）=1；（3）不可能事件的概率 P（F）=0；（4）概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P（AB）=P（A）+P（B） ；（5）对立事件的概率若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 AB 为必然事件。P（AB）=1，P（A）=1-P（B） 。二、古典概型二、古典概型1 1基本事件的特点基本事件的特点（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。2 2古典概型古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。注：注：确定一个试验是否为古典概型主要在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性。3 3古典概型的概率公式古典概型的概率公式。( )AP A 包含的基本事件的个数 基本事件的总数三、几何概型三、几何概型（1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面

5、积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。（2）在几何概型中事件 A 的概率计算公式。( )()AP A 构成事件的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积注：注：古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个。【热点难点精析热点难点精析】一、随机事件的概率一、随机事件的概率相关链接相关链接1事件的判断震怒地三种事件即不可能事件、尽然事件和随机事件的概念充分理解，特别是随机事件要看它是否可能发生，并且是在一定条件下的，它不同于判断命题的真假。2对随机事件的理解应包含下面两个方面：（1）随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究；（2）随机事件可以重复地进行大量试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着试验的重复进行，其结果呈现规律性。例题解析例题解析例例一个口袋装有 5 个白球和 3 个黑球，从中任意取出一个球：（1） “取出的球是红球”是什么事件？（2） “取出的球是黑球”是什么事件？（

6、3） “取出的球是白球或黑球”是什么事件？思路解析：思路解析：结合必然事件、不可能事件、随机事件的概念求解。解答：解答：（1）由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件；（2）由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件；（3）由于口袋内装的黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球鞋。因此， “取出的球是白球或黑球”是必然事件。（二）随机事件的频率与概率（二）随机事件的频率与概率相关链接相关链接1随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们给这个常数取一个名字，叫做这个随机事件的概率；2概率可看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近。只要次数足够多，所是频率就近似地当做随机事件的概率。例题解析例题解析例例某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：（1）计算表中进球的频率；（2）这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？思路解析

7、：思路解析：解答本题可根据频率的计算公式，其中为相同条件下重复的试验次数，( )A nnfAnn为事件 A 出现的次数，且随着试验次数的增多，频率接近概率。An解答：解答：（1）由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为（2）由（1）知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在的附近摆动，可知该运动员投篮一3 4次，进球的概率约为。3 4（三）互斥事件、对立事件的概率（三）互斥事件、对立事件的概率例例一盒中装有大小和质地均相同的 12 只小球，其中 5 个红球，4 个黑球，2 个白球，1 个绿球。从中随机取出 1 球，求（1）取出的小球是红球或黑球的概率；（2）取出的小球是红球或黑球或白球的概率。思路解析：思路解析：设事件分析事件的性质根据互斥事件概率求法求解。解答：解答：记事件 A=任取 1 球为红球；B=任取 1 球为黑球；C=任取 1 球为白球；D=任取 1 球为绿球，则（1）取出 1 球为红球或黑球的概率为1543( )( )12124PP AP B（2）取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为2254211( )( )( ).12121212 111(1()1).121

8、2PP AP BP CPP D 或注：注：（1）解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算。（2）求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算。二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维（正难则反） ，特别是“至多” ， “至少”型题目，用间接求法( )1( )P AP A 就显得较简便。（3）互斥事件、对立事件的定义是判断两事件是否是互斥事件、对立事件的一种最有效、最简便的基本方法。也可从集合角度来判断，如果 A，B 是两个互斥事件，反映在集合上是表示 A，B 两个事件所含结果组成的集合的交集为空集，即 AB=；如果 A，B 是对立事件，则在 AB=的前提下，A 与 B 的并集为全集。二、古典概型二、古典概型（一）写出基本事件（一）写出基本事件相关链接相关链接1随机试验满足下列条件：（1）试验可以在相同的条件下重复做下去；（2）试验的所有结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但

9、在试验之产却不能肯定会出现哪一个结果。所以，随机试验的每一个可能出现的结果是一个随机事件，这类随机事件叫做基本事件。2计算古典概型所含基本事件总数的方法（1）树形图（2）列表法（3）另外，还可以用坐标系中的点来表示基本事件，进而可计算基本事件总数（4）用排列组合求基本事件总数。例题解析例题解析例例做抛掷两颗骰子的试验：用（x,y）表示结果，其中 x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第二颗骰子出现的点数，写出（1）试验的基本事件；（2）事件“出现点数之和大于 8” ；（3）事件“出现点数相等” ；（4）事件“出现点数之和大于 10” 。思路解析：思路解析：抛掷两颗骰子的试验，每次只有一种结果；且每种结果出现的可能性是相同的，所以该试验是古典概型，当试验结果较少时可用列举法将所有结果一一列出。解答：解答：（1）这个试验的基本事件为（2） “出现点数之和大于 8”包含以下 10 个基本事件：（3） “出现点数相等”包含以下 6 个基本事件：。(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)（4） “出现点数之和大于 10”包含以下 3 个基本事件：(5,6),(6,5),(6,6)（二）求简单古典概型的概率（二）求简单古典概型的概率相关链接相关链接求古典概型概率的步骤求古典概型概率的步骤（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结晶是否为等可能事件，设出所求事件 A；（3）分别求出基本事件的总数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m;（4）利用公式求出事件 A 的概率。( )mP An注：注：并不是所有的试验都是古典概型。例如，在适宜的条件下种下一粒种子观察它是否“发芽” ，这个试验的基本事件空间为发芽，不发芽，而“发芽”与 “不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的。例题解析例题解析 例例如图，在一个木制的棱长为 3 的正方体表面涂上颜色，将它的棱 3 等分，然后从等分点把正方体锯开，得到 27 个

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