2024-2025学年河北省雄安新区高一下学期5月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省雄安新区高一下学期5月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数z=5−i1−9i，则z=(    )A. 14+46i B. 14−46i C. −4+46i D. −4−46i2.下列几何体中，有且仅有8个面的是(    )A. 六棱柱 B. 六棱锥 C. 八棱锥 D. 五棱柱3.已知向量a=(−1,1)，b=(2,1)，若a+kb⊥a，则k=(    )A. −2 B. −14 C. 14 D. 24.石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的户外休闲设施.如图，这是某广场的石凳的实物图，该石凳上方的部分可以近似地看成一个圆台.若该圆台的上底面直径为30厘米，下底面直径为40厘米，高为6厘米，则该圆台的体积为(    )A. 925立方厘米 B. 1850π立方厘米 C. 3700立方厘米 D. 5550立方厘米5.设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是(    )A. 若m⊂α，n⊂β，m//β，n//α，则α//βB. 若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α//βC. 若m//α，m//β，α∩β=n，则m//nD. 若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n6.在▵ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos2A+1=cos2B+cos2C，且bcosC=csinB，则▵ABC的形状一定是(    )A. 等腰锐角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰钝角三角形 D. 不确定的7.如图，四边形ABCD是圆柱O1O2的轴截面，AB=6，圆O1的周长为4，E是线段CD的中点，曲线BE在圆柱O1O2的侧面上，且曲线BE的长度等于在圆柱O1O2的侧面上从B到E的最短距离，若P为曲线BE上的动点，则点A到点P的距离的最小值是(    )A. 5 1313 B. 12 1313 C. 13 D. 2 138.如图，以边长为4的菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，∠ABC=60°，则AB⋅AP的最大值是(    )A. 16 B. 16 2 C. 18 D. 20二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.若复数z满足z4=1，且z≠1，则z可能是(    )A. i B. −i C. −1 D. 1−i10.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，c=6，且(2a−b)cosC=ccosB，则下列结论正确的是(    )A. C=π6 B. ▵ABC外接圆的面积为12πC. ▵ABC的面积的最小值是9 3 D. a+2b的最大值是4 2111.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E是棱CC1(不包含端点)上的动点，F在正方形ADD1A1内，CF//平面AD1E，则下列结论正确的是(    )A. 平面AD1E截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面一定是等腰梯形B. 存在点E，使得异面直线D1E与BC1夹角的余弦值为3 28C. 若E是CC1的中点，则点F的轨迹长度是 2D. 三棱锥D−AD1E外接球表面积的最小值是41π4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知向量a=(1,2)，b=(−2,7)，则2a−b=          ．13.某数学兴趣小组成员为测量A，B两地(视为质点)之间的距离，在A的正北方向和西偏北15°方向上分别选取点C，D，已知A，C两地相距5 6千米，B，D两地相距10 3千米，且D在C的西南方向上，B在A的西南方向上，则A，B两地之间的距离是___          __千米．14.坡度是指地表或道路等倾斜的程度，通常用垂直高度差与水平距离的比值表示.如图，这是某水渠侧面和底面的直观图，其中点A在该水渠的侧面上，点B在底面上，直线l是该水渠侧面与底面的交线，且AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C、D，若AC=3，BD=5，CD=8，AB=10，则该水渠侧面的坡度(即该水渠的侧面与底面夹角的正切值)是          ．四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知复数z=a+ia∈R，且z+5z是实数．(1)求a的值；(2)若m∈R，且z+mi>|z|，求m的取值范围．16.(本小题15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是梯形，BC//AD，AD=3BC，E、F分别是棱PD、AD上的点，且DF=2BC，DE=2PE．(1)证明：平面PAB//平面CEF；(2)记多面体PABCEF的体积为V1，三棱锥E−CDF的体积为V2，求V1V2的值．17.(本小题15分)如图，四边形ABCD是边长为3的菱形，E、F分别段BC、CD(不包含端点)上，且CE=DF，BD=3GD，且AG⋅AB=6．(1)用AB、AD表示AG；(2)求∠BAD的值；(3)求EF的取值范围．18.(本小题17分)如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，AD=3．(1)若cosC=34，求cosA的值；(2)若A+C=π，求四边形ABCD的面积；(3)求四边形ABCD的面积的最大值．19.(本小题17分)如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，AA1=AC1=AB=2，，，E是侧棱CC1上的一点．(1)证明：AA1⊥B1D1．(2)求点E到平面AA1B1B的距离．(3)若直线B1E与平面AA1B1B所成角的正弦值为 4214，求C1E的长度．参考答案1.C 2.A 3.D 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 9.ABC 10.BD 11.ACD 12.5 13.20 14.4 14 15.(1)因为z=a+i，所以5z=5a+i=5a−ia+ia−i=5a−5ia2+1=5aa2+1−5a2+1i，所以z+5z=a+5aa2+1+1−5a2+1i，因为z+5z是实数，所以1−5a2+1=0，解得a=±2；(2)由(1)可知z=2+i或z=−2+i，当z=2+i时，z+mi=2+(m+1)i，所以z+mi= 22+(m+1)2，|z|= 22+12= 5．因为z+mi>|z|，所以 22+(m+1)2> 5，整理可得(m+1)2>1，即m+1>1或m+1< −1    ，解得m>0或m< −2．当z=−2+i时，同理可解得m>0或m< −2．综上，m的取值范围是(−∞,−2)∪(0,+∞)．16.(1)因为AD=3BC且DF=2BC，所以AF=BC，因为BC//AD，所以AF//BC，故四边形ABCF为平行四边形，则AB//CF，因为CF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CF//平面PAB，因为DF=2BC=2AF，DE=2PE，所以DFAD=DEPD=23，所以EF//PA，因为EF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以EF//平面PAB，因为CF∩EF=F，CF、EF⊂平面CEF，所以平面PAB//平面CEF;(2)设四棱锥P−ABCD的底面积为S，高为ℎ，则四棱锥P−ABCD的体积为V=13Sℎ，由(1)可知DFAD=DEPD=23，则点E到平面ABCD的距离为23ℎ，S▵CDF=12S，从而三棱锥E−CDF的体积为V2=13×12S×23ℎ=19Sℎ，所以多面体PABCEF的体积为V1=V−V2=13Sℎ−19Sℎ=29Sℎ，故V1V2=2．17.(1)因为BD=3GD，所以AD−AB=3AD−AG，解得AG=13AB+23AD．(2)由(1)可知AG=13AB+23AD，则AG⋅AB=13AB+23AD⋅AB=6，所以，解得，因为，故．(3)因为EF=EC+CF，所以EF2=EC+CF2=EC2+2EC⋅CF+CF2=EC2+2EC⋅CFcosπ−C+CF2，因为四边形ABCD是菱形，故，所以cosπ−C=−cosC=−12，设EC=t，因为CE=DF，所以CF=3−t，其中0