2024-2025学年天津市天华高级中学高一下学期第二次阶段性考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市天华高级中学高一下学期第二次阶段性考试数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数z满足4i+z=−3+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.已知向量a=(1,−1)，b=(−1,3)，则a⋅2a+b=(    )A. 0 B. 1 C. −1 D. 23.如图为▵ABC水平放置的直观图，其中B′O′=C′O′=1，A′O′= 32，那么原▵ABC的面积是(    )A. 3 B. 2 3 C. 32 D. 24.设▵ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a= 6，A=60°，B=45°，则b等于(    )A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 45.攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖.通常有圆形攒尖，三角攒尖，四角攒尖，八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面是底边长为6m，顶角为2π3的等腰三角形，则该屋顶的面积约为(    )．A. 3 3πm2 B. 6πm2 C. 6 3πm2 D. 12 3πm26.已知α,β为两个不同的平面，m,n,l为三条不同的直线，则下列结论中正确的是(    )A. 若m//α,n//α，则m//n B. 若α//β,m⊂α,n⊂β，则m//nC. 若α//β，且m⊂α，则m//β D. 若l//m,l//n，且m,n⊂α，则l//α7.已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a=2e1−e2与b=e1+λe2共线，则λ=(    )A. 2 B. −2 C. −12 D. 128.在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=b⋅cosC+c⋅cosB，tanA= 3，则▵ABC是(    )A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形9.底面边长为4 2的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2 2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为(    )A. 28 B. 58 C. 56 D. 28 2二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10.i是虚数单位，化简3−4i2−i的结果为          ．11.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市          家．12.已知a=2,b= 3,1，且a⊥b，则a−2b=          ．13.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2 3，则该正方体外接球的表面积为          ．14.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为DD1，BD，BB1的中点，则C1E与FG所成的角的余弦值为          ．15.如图，在▵ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+13AB，m=           ；若▵ABC的面积为2 3，则AP的最小值为          ．三、解答题：本题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.(本小题15分)已知i是虚数单位，复数z=m2−3m+m2−5m+6i，m∈R．(1)当m=1时，求|z|；(2)若z是纯虚数，求m的值；(3)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围．17.(本小题15分)在ΔABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，已知a=2，c= 2，cosA=− 24．(1)求b的值；(2)求sinC的值；(3)求cos(2A+π3)的值．18.(本小题15分)已知▵ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(cosA,sinB)，n=(a, 3b)，且m//n．(1)求角A的大小；(2)若a= 7，b=2，求边c和▵ABC的面积．19.(本小题15分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面BCC1B1，ABB1A1均为正方形，AB=BC=1，∠ABC=90°，点D是棱的A1C1中点．(1)求证：BC1//平面AB1D；(2)求B1到平面A1BC1的距离．20.(本小题15分)如图，在四面体ABCD中，▵ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=2 3，∠BAD=90°．(1)求证：CM⊥平面ABD；(2)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．参考答案1.B 2.A 3.A 4.B 5.C 6.C 7.C 8.B 9.C 10.2−i/−i+2 11.20 12.2 5 13.36π 14. 155/15 15 15.12 ；2 16.(1)当m=1时，z=−2+2i，所以|z|= (−2)2+22=2 2．(2)若复数是纯虚数，则m2−3m=0m2−5m+6≠0，解得m=0或m=3m≠2且m≠3，所以m=0．(3)复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则m2−3m<0m2−5m+6>0，即03,所以，实数m的取值范围是00,sinA= 1−cos2A= 144又a:sinA=c:sinC，解得sinC= 74；(3)因为cos2A=2cos2A−1=−34，sin2A=2sinAcosA=− 74，所以cos(2A+π3)=cos2Acosπ3−sin2Asinπ3= 21−3818.(1)因为m=(cosA,sinB)，n=(a, 3b)，且m//n，所以 3bcosA−asinB=0，由正弦定理可得 3sinBcosA−sinAsinB=0，因为A，B为▵ABC的内角，所以A,B∈(0,π)，因此 3sinBcosA−sinAsinB=0可化为 3cosA=sinA，即tanA= 3，所以A=π3；(2)因为a= 7，b=2，A=π3，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，即7=4+c2−2c，即c2−2c−3=0，解得c=3或c=−1(舍)，所以▵ABC的面积为S▵ABC=12bcsinA=3 32．19.(1)取A1B与AB1的交点为E，连接DE，由侧面ABB1A1均为正方形，可得AE=EB1，又因为点D是棱的A1C1中点，所以DE//BC1，又因为DE⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，所以BC1//平面AB1D；(2)因为侧面BCC1B1，ABB1A1均为正方形，AB=BC=1，∠ABC=90°，所以AC=A1C1= 2，C1B=A1B= 2，又因为点D是棱的A1C1中点，所以BD⊥A1C1，即可得BD= 22− 222= 62，所以S▵A1BC1=12× 2× 62= 32，又因为VB−A1B1C1=13×12×1×1×1=16，设点B1到平面A1BC1的距离为d，则根据等体积公式可得，VB−A1B1C1=VB1−A1BC1=13× 32×d=16.解得d= 33，故B1到平面A1BC1的距离为 33．20.(1)如图，连接CM，因为M为AB的中点，▵ABC是等边三角形，所以CM⊥AB，又平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，CM⊂平面ABC，所以CM⊥平面ABD．(2)由(1)，CM⊥平面ABD，则∠CDM是直线CD与平面ABD所成角，又∠BAD=90o，且AM=1，AD=2 3，∴MD= 13，因为CM⊥平面ABD，MD⊂平面ABD，所以CM⊥MD，所以▵CMD为直角三角形，∠CMD为直角，在Rt▵CMD中，CM= 3，MD= 13，则CD=4，所以sin∠CDM=CMCD= 34，所以直线CD与平面ABD所成角的正弦值为 34． 第7页，共7页。