复变函数论第三版钟玉泉第5章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,复变函数,华中科技大学数学与统计学院,*,*,第一节 解析函数的洛朗展式,1.双边幂级数,2.解析函数的洛朗展式,3.洛朗级数与泰勒级数的关系,4.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式,5.典型例题,第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点,9/30/2024,1,1.双边幂级数,定义,称级数,（1）,为双边幂级数（1）的系数双边幂级数,为,双边幂级数,，其中复常数,负幂项部分,非负幂项部分,主要部分,解析部分,注:主要部分与解析部分同时收敛称幂级数收敛,9/30/2024,2,若,收敛域为,的收敛半径为R,收敛域为,时收敛,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分,H:,这时,级数(1)在,圆环,H,:,r,|,z-a,|,R,收敛于和函数,f,(,z,)=,f,1,(,z,)+,f,2,(,z,),9/30/2024,3,定理,设双边幂级数(1)的收敛圆环为,H:,r,|,z-a,|,R,(,r,0,R,+),则(1)级数在H内绝对收敛且内闭一致收敛于:,f,(,z,)=,f,1,(,z,)+,f,2,(,z,).,(2),f,(,z,)在,H,内解析.,在,H,内可逐项求导,p,次(,p,=1,2,).,(4)函数,f,(,z,)可沿,H,内曲线,C,逐项积分.,9/30/2024,4,定理5.2(洛朗定理)在圆环H:,r,|,z,-,a,|,R,(,r,0,R,+)内解析的函数,f,(,z,)必可展成双边,幂级数,其中,(2),2.解析函数的洛朗(Laurent)展式,定义,(2)式称为,f,(,z,),在点,a,处的,罗朗展式,，(3)称为其,罗朗系数,，而(2)右边的级数则称为,罗朗级数,。

3),注:泰勒级数是罗朗级数的特殊情形3.洛朗级数与泰勒级数的关系,9/30/2024,5,例1,求函数 分别在圆环 及 的洛朗级数1)在圆环 内，,于是有洛朗级数,(2),在圆环 上,于是有洛朗级数,解,9/30/2024,6,例2,求函数 在 内的洛朗级数例3,求函数 在 内的洛朗级数例4,求函数 在 内的洛朗级数9/30/2024,7,4.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式,定义,如果,f,(,z,)在点,a,的某一去心邻域,K,-,a,：0|,z,-,a,|,R,内解析，点,a,是,f,(,z,)的奇点，则称为,f,(,z,)的,孤立奇点,.,如果,a,为,f,(,z,)的一个孤立奇点，则,f,(,z,)在点,a,的某一去心邻域,K-,a,：0|,z-a,|R内能展成洛朗级数将函数展成洛朗级数的常用方法1.直接展开法,:,利用定理公式计算系数,然后写出,2.间接展开法,根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可,用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.,9/30/2024,8,例1,展开成洛朗级数.,5.典型例题,例2,求函数 在 内的洛朗级数例3,试问函数 能否在 内展成,洛朗级数？,9/30/2024,9,第二节,解析函数的有限孤立奇点,2.孤立奇点的性质,3.Picard定理,4.Schwarz引理,1.孤立奇点的分类,9/30/2024,10,1.孤立奇点的分类,如,a,为,f,(,z,),的孤立奇点,则,f,(,z,),在,a,的某去心邻域,K-,a,内可以展成罗朗级数,则称,为,f,(,z,),在点,a,的,正则部分,而称,为,f,(,z,),在点,a,的,主要部分,。

定义,设,a,为,f,(,z,)的孤立奇点.(1)如果,f,(,z,),在点,a,的主要部分为零,则称,a,为,f,(,z,),的,可去奇点,;(2)如果,f,(,z,),在点,a,的主要部分为有限多项,设为,则称,a,为,f,(,z,),的,m,阶极点,，一阶极点也称为,简单极点,；,(3),如果,f,(,z,),在点,a,的主要部分有无限多项,则称,a,为,f,(,z,),的,本性奇点,.,9/30/2024,11,定理,若,a,为,f,(,z,),的孤立,奇点,，则下列三条是等价的,因此，它们中的任何一条都是可去奇点的特征2),(1),f,(,z,),在点,a,的主要部分为零,;,(3),f,(,z,),在点,a,的某去心邻域内有界,2.,可去奇点的性质,9/30/2024,12,证,(1),(2).,由(1)有,因此,(2),(3).,因,(3),(1).,因主要部分的系数,其中 ,可任意小，故,9/30/2024,13,Schwarz引理,如果函数,f,(,z,)在单位圆|,z,|1内解析,并且满足条件,f,(0)=0,|,f,(,z,)|1(|,z,|1)，则在单位圆|,z,|1内恒有|,f,(,z,)|,z,|,且有 .,3.,施瓦茨(Schwarz)引理,如果上式等号成立,或在圆|,z,|,z,|,r,0,内解析,则称点,为,f,(,z,),的一个,孤立奇点,.,设点,为,f,(,z,),的孤立奇点,利用变换,于是,在去心邻域:,(5.12),内解析，则,9/30/2024,19,(1),对于扩充,z,平面上无穷远点的去心邻域,N-,有扩充,z,/,平面上的原点的去心邻域,;,(2),在对应点,z,与,z,/,上,函数,(3),或两个极限都不存在.,注：,9/30/2024,20,定义,若,z,/,=0,为,的可去奇点(解析点)、,m,级极点或本性奇点,则相应地称,z,=,为,f,(,z,),的可去奇点(解析点,)、,m,级极点或本性奇点.,设在去心邻域 内将,展成罗朗级数:,9/30/2024,21,定理,/,(对应于定理5.3)f(z)的孤立奇点z=为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:,(1)f(z)在 的主要部分为零;,(2),(3)f(z)在 的某去心邻域N-内有界.,9/30/2024,22,定理,/,(对应于定理5.4),f,(,z,),的孤立奇点,z,=为m级极点的充要条件是下列三条中的任何一条成立:,(1),f,(,z,)在,z,=的主要部分为,(2),f,(,z,),在,z,=的某去心邻域N-内能表成,(3),g,(,z,),=1/,f,(,z,),以,z,=为m级零点(只要令g(,)=0).,其中 在,z,=的邻域N内解析,且,9/30/2024,23,定理5.5(对应于定理5.5)f(z)的孤立奇点为极点的充要条件是,定理5.6(对应于定理5.6)f(z)的孤立奇点为本性奇点的充要条件是下列任何一条成立:,(1)f(z)在z=的主要部分有无穷多项正幂不等于零,广义不存在(即当z趋向于时,f(z)不趋向于任何(有限或无穷)极限).,(2),9/30/2024,24,第四节 整函数与亚纯函数,1.整函数,2.亚纯函数,9/30/2024,25,在整个z平面上解析的函数f(z)称为整函数.,(5.14),设,f(,z)为一整函数,则f(z)只以z=为孤立奇点,且可设,1.整函数,9/30/2024,26,定理5.10 若,f,(z)为一整函数,则,(1)z=为,f,(z)的可去奇点的充要条为:,f,(z)=,c.,(2)z=为,f,(z)的m级极点的充要条件:,f,(z)是一个m次多项式,(3)z=为,f,(z)的本性奇点的充要条件为:展式(5.14)有无穷多个,c,n,不等于零.(我们称这样的,f,(z)为超越整函数).,9/30/2024,27,定义5.6 在z平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数.,2.亚纯函数,定理5.11 一函数,f,(z)为有理函数的充要条件为:,f,(z)在扩充平面z平面上除极点外没有其它类型的奇点.,定义5.7 非有理的亚纯函数称为超越亚纯函数,9/30/2024,28,。