1、镇海中学 2024 学年第二学期期中考试高二数学试题卷本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应期目选项的答案标号涂黑3非选择题必须用黑色字迹钢笔成签字笔作答，答案必须写在答图卷各题目指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液4考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破选择题部分（共 58 分）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】解不等式化简集合 A，进而可得并集.【详解】因为集合 ，且集合 ，所以 .故选：D.2. 在 中，“ ”是“ ”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】试题分析：由正弦定理 ，得 ，由 得 ，第 1页/共 18页即 ，由大边对大角得 ；当 得 ，即 ，由正弦定理得 ，因此
2、“ ”是“ ”的充要条件，故答案为 C.考点：1、正弦定理的应用；2、充要条件的判断.3. 函数 在 上的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用排除法，根据函数奇偶性排除 CD，再根据函数单调性排除 B.【详解】因为 ，可知函数 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故 CD 错误；且 ，则 ，可知 在 内存在递减区间，故 A 错误；故选：B.4. 已知 ，则 的值为（ ）A. B. C. D.【答案】A第 2页/共 18页【解析】【分析】利用诱导公式求出 ，然后利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求代数式的值.【详解】因为 ，所以.故选：A.5. 已知函数 为定义在 上的奇函数，且当 时， ，则当 时， 等于（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】当 时， ，由奇函数的性质得出 ，即可得解.【详解】因为函数 为定义在 上的奇函数，且当 时， ，则当 时， ，所以， ，此时， .故选：D.6. 已知 ， ， ，则（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指、对数函数单调性结合中间值 分析判断.【详解】因为 在定义域 内单调递减，
3、则 ，即 ；第 3页/共 18页又因为 在定义域 内单调递增，则 ，即 ；且 在定义域 内单调递增，则 ，即 ；综上所述： .故选：D.7. 在 中， 在 上，且 ， ，则 的值为（ ）A. B. 2 C. 3 D.【答案】C【解析】【分析】在 和 中分别利用正弦定理，再结合条件即可化简得出.【详解】因 ，则 ，因 ，则 ，在 中利用正弦定理得， ，在 中利用正弦定理得， ，则 ，由两式得 .故选：C8. 已 知 函 数 ， 若 存 在 实 数 、 、 使 得 且成立，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知等式变形得出 ，结合基本不等式可得出 ，由已知条件变形得出，分析得出 ，由 可得出 的取值范围，由此可得出实数 的取值范围.第 4页/共 18页【详解】因为函数 ，且存在实数 、 、 使得 ，则 ，等式两边同除以 可得 ，所以， ， ，故 ， ，由基本不等式可得 ，整理可得 ，当且仅当 时，等号成立，由 可得 ，则 ，等式两边同时除以 可得 ，则 ，故 ，可得 ，所以， ，故 ，故 .故选：A.二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 1
4、8 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分9. 已知函数 的周期为 2，且在 上单调递增，则不符合条件的 有（ ）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】对于 ABD：举反例说明即可；对于 C：根据周期性定义结合正弦函数单调性分析判断.【详解】对于选项 A：因为 ，即 ，可知函数 在 上不单调，故 A 不符合条件；对于选项 B：因为 ，即 ，可知函数 在 上不单调，故 B 不符合条件；第 5页/共 18页对于选项 C：因为 ，可知函数 的一个周期为 2，若 ，则 ，可得 ， ，且 上单调递增，所以 在 上单调递增，故 C 符合条件；对于选项 D：因为 ，即 ，可知函数 在 上不单调，故 D 不符合条件；故选：ABD.10. 已知 ， 为正实数， ，则（ ）A. 的最大值为 1 B. 的最大值为 2C. 的最小值为 D. 的最小值 3【答案】ACD【解析】【分析】根据已知等式，结合基本不等式的“1”的巧用，分式分离，平方转化等方法逐项判断即可得结论.【详解】对于 A， ， 为正实数， ，所以 ，当且仅当 时， 的最大
5、值为 1，故 A 正确；对于 B，由于 ，由 A 选项可知 ，所以 ，所以 的最小值为 2，故 B 不正确；对于 C，因为 ， 为正实数， ，所以 ，第 6页/共 18页则，当且仅当 ，即 时， 的最小值为 ，故 C 正确；对于 D， ，当且仅当 时， 的最小值 3，故 D 正确.故选：ACD.11. 已知函数 ，则下列正确的是（ ）A. 存在实数 ，使得 存在零点B. 存在实数 ，使得 对任意实数 恒成立C. 不存在正实数 ，使得 对任意实数 恒成立D. 不存在正实数 ，使得 有实数解【答案】AC【解析】【分析】对于 AD：举例说明即可；对于 B：注意到 ，即可判断；对于 C：构建，分析可知 与 至少有一个成立，即可判断.【详解】对于选项 A：例如 ，则 ，则 ，此时 存在零点，故 A 错误；对于选项 B：因为 ，所以不存在实数 ，使得 对任意实数 恒成立，故 B 错误；对于选项 C：对于任意 ，则 ，第 7页/共 18页构建 ，当 时，则 ，可知 ，则 ；当 时，则 ，由可知 ；综上所述：对任意正实数 ， 与 至少有一个成立，所以不存在正实数 ，使得 对任意实数 恒成立，故 C 正
6、确；对于选项 D：例如 ，则 ，则 ， ，故 D 错误；故选：AC.非选择题部分（共 92 分）三、填空题：本愿共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分12. 已知函数 ，则 _【答案】【解析】【分析】利用函数解析式由内到外逐层计算可得 的值.【详解】因为 ，则 ，故 .故答案为： .13. 已知 ， 且 ，则 的最小值为_【答案】【解析】【分析】利用基本不等式结合余弦函数的有界性可得 ，且 ，进而分析余弦函数的最值第 8页/共 18页点即可得结果.【详解】因为 ， ，且 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，又因 ，可知 ，且 ，则 ，即 ，可得 ，所以 的最小值为 .故答案为： .14. 设函数 在 上有定义，且满足以下性质： ， 则_【答案】【解析】【分析】应用赋值法及已知等式计算求解函数值.【详解】令 ，因为 ，所以 ，所以 ，令 ，因为 ，所以 ，所以 ,令 ，因为 ，所以 ，所以 ,令 ，因为 ，所以 ，所以 ,令 ，因为 ，所以 ，所以 ,令 ，因为 ，所以 ，所以 .故答案为： .第 9页/共 18页四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演
7、算步骤15. 设集合 ， （1）若 ，求 ；（2）若 ，求实数 的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式化简集合 A，进而可得交集；（2）由题意可知 ，分 和 两种情况，结合包含关系列式求解.【小问 1 详解】由题意可得：集合 ，若 ，则集合 ，所以 .【小问 2 详解】若 ，则 ，若 ，则 ，解得 ；若 ，则 ，解得 ；综上所述：实数 的取值范围为 .16. 已知函数 （1）求 的对称轴；（2）若函数 在 上单调递增，求 的取值范围第 10页/共 18页【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）整理可得 ，以 为整体，结合正弦函数对称性分析求解；（2）整理可得 ，以 为整体，结合正弦函数单调性分析求解.小问 1 详解】由题意可得： ，令 ，解得 ，所以 对称轴为 .【小问 2 详解】由（1）可得 ，因为 且 ，则 ，若函数 在 上单调递增，则 ，解得 ，所以 的取值范围为 .17. 已知线段 、 交于点 ，且 ， ， （1）若 ，求 的长；（2）若 且 ，求 的长【答案】（1）（2） 或第 11页/共 18页【解析】【分析】（1）在 和 中，由 ，结合余弦定理化简
8、可得出 的长；（2）分析可知， ，由已知条件得出 ，将已知等式变形为，解出 的值，结合角 的取值范围，可得出角 的值，进而可得出角 、 的值，由正弦定理可求得 的长.【小问 1 详解】如下图所示：因为 ，且 ，所以，由余弦定理可得 ，即 ，整理可得 ，因为 ，所以， ，故 .【小问 2 详解】若 ，且 ， ，则 ，所以， ，又因为 ，则 ，可得 ，所以， ，不合乎题意，因为 ，则 ，则 ，即 ，整理可得 ，解得 或 ，第 12页/共 18页因为 ，则 ，所以， 或 ，可得 或 ，若 ，则 ， ，由正弦定理可得 ，则 ；若 ，则 ， ，由正弦定理可得 ，则 .综上所述， 或 .18. 已知函数 是偶函数（1）求实数 的值；（2）若 对于任意实数 x 恒成立，求实数 t 的取值范围；（3）若函数 在 上存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义取特指解得 ，并代入检验；（2）根据题意整理可得 对于任意实数 x 恒成立，结合指、对数函数性质分析判断；（3）根据题意整理可得 ，换元令 ，可知在 内存在零点，结合二次函数性质分析求解.【小问 1 详解】因为 ，可知函数 的定义域为 ，若函数 为偶函数，则 ，第 13页/共 18页即 ，可得 ，即 ，此时 ，则 ，即函数 为偶函数，所以 .【小问 2 详解】因为 ，即 ，可得 ，即 对于任意实数 x 恒成立，因为 ，则 ，可得 ，所以实数 t 的取值范围为 .【小问 3 详解】由（1）可知： ，若存在 ，使得 成立，即 ，整理可得 ，则 ，令 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，可得 ，构建 ，可知 在 内存在零点，因为 的图象开口向
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