云南省上海新纪元实验学校2024-2025学年高二下学期3月云贵统一考试 数学试题（含解析）

1、上海新纪元2025年3月云贵统一考试试题数学（高二）本试题共4页，19小题，满分150分考试时间：120分钟注意事项：1答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将答题卡交回，一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 函数在区间上的平均变化率为（ ）A. 6B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】由平均变化率计算公式求解【详解】解：函数在区间上的平均变化率为故选：B.2. 已知函数，若，则的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求导，根据得到方程，求出答案.【详解】，故选：B3. 曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】借助导数的几何意义计算

2、即可得.【详解】，令，则，故，当时，即的坐标为.故选：B.4. 已知函数，则（ ）A. 0B. C. 2025D. 4050【答案】B【解析】【分析】先求出导函数，再代入结合应用诱导公式及特殊角的函数值求解.【详解】因为，则，故.故选:B.5. 曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，可得出切线与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可得解.【详解】对函数求导得，故所求切线斜率为，切点坐标为，所以，曲线在处的切线方程为，该切线交轴于点，交轴于点，因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.故选：D.6. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ）A. 4B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由求出，再检验是否符合题意即可.【详解】由题得，因为函数在处取得极小值，所以或，当时，所以当时，当时，所以函数处取得极小值，符合题意，所以函数在处取得极大值为；当时，所以当时，当时，所以函数在处取得极大值，不符合题意；综上，的极大值为4.故选：A7. 已知函数，则曲线在点处的切线方

3、程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求，取，可求，再求，再由导数的几何意义及点斜式求切线方程.【详解】由，得，所以，得，所以，故所求切线方程为，即.故选：A.8. 已知奇函数的定义域为，且是的导函数，若对任意，都有则满足的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，结合已知条件判断函数的奇偶性与单调性，将变形为，即，利用函数单调性解不等式即可.【详解】设，因为为奇函数，为偶函数，所以为奇函数；因为对任意，都有，而，所以在单调递减，又因为为奇函数，所以在单调递减，当时，因为，所以，所以，所以，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分9. 下列求导运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根据导数的运算法则以及导数公式表计算可得答案.【详解】对于A，故A不正确；对于B，根据导数公式表可知B正确；对于C，根据导数公式表可知C正确；对于D，故D不正确.故选：BC10. 定义在上函数的导函数的图象

4、如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. 函数在上单调递减B. 函数在上单调递减C. 函数在处取得极小值D. 函数在处取得极大值【答案】AD【解析】【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论.【详解】由函数的导函数的图象可知，当时，所以在上单调递增，故B错误；当时，所以在上单调递减，故A正确；所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确.故选：AD.11. 设函数，则（ ）A. 当时，是的极大值点B. 当时，有三个零点C. 存在a，使得点为曲线的对称中心D. 存在a，b，使得为曲线的对称轴【答案】BC【解析】【分析】A选项，根据极值和导函数符号关系进行分析；B选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；C选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. D选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；【详解】A选项，时，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，A选项错误；B选项，由于，故时，故在上单调递增，时，单调递减，则在处取到极

5、大值，在处取到极小值，由，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，B选项正确；C选项，方法一：利用对称中心的表达式化简，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，于是即，解得，即存在使得是的对称中心，C选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，C选项正确.D选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，D选项错误；故选：BC【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 曲线在点处的切线的斜率为_【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线的斜率.【详解】由，求导得，则，所以所求切线的斜

6、率为2.故答案为：2.13. 函数的极小值为_【答案】【解析】【分析】利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极小值.【详解】由题意，函数的定义域为，.因为恒成立，所以由，得；由，得；所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，极小值.故答案为：.14. 设不等式；在时恒成立则实数的最大值为_【答案】【解析】【分析】分离参数，得在上恒成立，问题转化为求函数在上的最小值.利用导数分析函数的单调性，可求函数的最小值.【详解】因为，由，得：恒成立，即.记，则，由得：；由得：.所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以在处取到最小值，且.所以.故答案：四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数（1）求的单调区间；（2）求函数的极值；【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）极大值为，极小值为【解析】【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间；（2）结合（1）的单调性求出函数的极值.【小问1详解】函数的定义域为，又，当或时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；【小问2详解】由（1）可知当时，有

7、极大值，且极大值为；当时，有极小值，且极小值为16. 已知函数.（1）当时，求的图象在点处的切线方程；（2）若，时，求实数a的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意，由导数的几何意义代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，求导可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】，所以的图象在点处的切线方程为，即.【小问2详解】，则，当时，即在上单调递增.当时，与题意不符.当时，在上单调递增；，在上单调递减.当时，取得最大值，且为.由题意可得，解得.即实数的取值范围为.17. 已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）当时，如果函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用导数求函数的单调性即可；（2）求出，由单调性与导数的关系得出，分离参数，构造函数求出其最大值，即可得出实数的取值范围【详解】（1）定义域为， 当时，在上单调递增；当时，当时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增.（2）由题意对恒成立即对恒成立，.18. 已知函数在处取得极值，其中（1）求的值；（2）当时，方程有两个不等实数根，求实数k的取值

8、范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先求导函数，再依据题意求解检验即可.（2）由（1）得和，接着研究在上的正负从而得在上的单调性，根据单调性数形结合即可得解.【小问1详解】由求导得，依题意可知，即，解得，此时，由得或，当时，函数递增，当时，函数递减，故时，函数取得极大值，故.【小问2详解】由（1）得，令，解得或，因，故当时，函数递减，当时，函数递增，当时，取得极小值，无极大值，所以，所以在区间上，的最大值为或，而，所以在区间上的最大值为，最小值为，作出函数与直线的图像，如图， 由图知.19. 已知函数，（1）求的极值；（2）若时，与的单调性相同，求的取值范围；（3）当时，函数，有最小值，记的最小值为，证明：.【答案】(1) 极小值，无极大值. (2) (3)证明见解析【解析】【分析】（1）通过导函数大于零和小于零解得函数单调区间，求出极值；（2）由（1）知，在单调递增，则在恒成立，转化成不等式恒成立求参数范围；（3）时，有最小值，则的最小值是这个区间上的极小值，隐含着的根，结合根的存在性定理确定的范围，利用隐零点关系转化，即可求证.【详解】解：（1）的定义域为，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增.所以有极小值，无极大值.（2）由（1）知，在单调递增.则在单调递增，即在恒成立，即在恒成立，令，；，所以当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减，又时，所以，.（3），在单调递增，又，存在唯一的，使得，即，即，当时，单调递减，当时，单调递增，令，则恒成立，则在上单调递减，即即，.【点睛】此题考查导函数与函数的单调性，涉及等价转化，转化与化归思想，第三问考查隐零点问题，注意整理出隐零点问题的常规解法，确定导函数的零点所在区

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