5道微分方程计算练习题及答案B5

1、5道微分方程计算练习题及答案1.二阶常微分方程30y+86y=0的通解主要内容：本文通过一阶微分方程分离变量法、一阶齐次微分方程和二阶常系数微分方程通解计算，介绍二阶常微分方程30y+86y=0通解的计算步骤。主要步骤：.分离变量法由30y=-86y有：30d(y)=-86ydx=-86dx,两边同时积分有：30=-86dx，即：30d(lny)=-86dx，30lny=-86x+C00,对方程变形有：=e=C01e,再次积分可有：dy=C01，即：y=-C01*=C1e+C2。.一阶齐次微分方程求解因为30 (y)+86y=0，即：(y)+y=0，按照一阶齐次微分方程公式有：y=e*(+C0)，进一步化简有：y=C0e，继续对积分可有：dy=C0，即：y=-C0*=C1e+C2。.二阶常系数微分方程求解该微分方程的特征方程为30r2+86r=0，即：r(30r+86)=0，所以r1=-，r2=0。此时二阶常系数微分方程的通解为：y=C1er1x+C2er2x=C1e+C2。2.微分方程y=的通解计算步骤主要内容：本文通过换元法，介绍计算微分方程y=的通解的计算过程。主要过程：根据题意

2、有：=，=.设=u，即y=xu，求微分为dy=udx+xdu,有：=u+x，代入微分方程有：u+x=,x=-u,微分方程右边通分得到：x=，x=-，=-,两边同时取积分得：=-,=-，=-ln|x|，ln|9u2+2u-1|+ln|x|=c1，x=ec1，x2(9u2+2u-1)=C，将u=代入方程得微分方程的通解为：x29()2+2-1=C,9y2+2xy-x2=C。3.求微分方程(16x2+9y2)dx-12xydy=0的通解主要内容：本题主要通过微分方程的齐次方程通解计算方法，以及换元、分离变量等知识，介绍计算微分方程(16x2+9y2)dx-12xydy=0的通解步骤。主要步骤：解：对微分方程进行变形，同时除以xy有：(16*+9*)-12dy=0，设=u,则y=xu，求导有：dy=udx+xdu，代入方程有：(+9u)dx-12dy=0，(+9u)dx-12(udx+xdu)=0,(-3u)dx=12xdu,进一步对上述方程变形有：=-,两边同时积分有：=-,2=-ln|x|+C1,2ln(3u2-16)+ln|x|=C1,根据对数知识，上述函数化简为：x*(3u2-16)2=C,再将u=代入有：(3y2-16x2)2=Cx3,即为本题微分方程的通解。4. 微分方程y=(x+13)y2的计算主要内容：本文通过分离变量微分方程计算法，介绍微分方程y=(x+13)y2的主要计算步骤。主要步骤：因为y=(x+13)y2，所以=(x+13)y2,由微分方程分离变量计算有：=(x+13)dx,两边同时取积分，有：=-y(-1)=+13-y(-1)=*x2+13x+C1，两边同时乘以2，则有：-2*y(-1)=x2+26x+C将方程变形为：y(x2+26x+C)+2=0。5.计算微分方程y=的通解主要内容：根据一阶线性非齐次微分方程的通解计算公式，介绍微分方程y= 的通解的主要计算步骤。主要步骤：变形微分方程为非齐次方程如下：=,化简变形如下：-=-,以x应用一阶线性非齐次微分方程的通解，用公式如下：x=(+C)=(+C)=(+C)=(+C)=(-+C)=(-+C)=-+C。即为本题所求微分方程的通解。

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