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高等数学(上册)教案17-不定积分的概念和性质(共3页)
3页1、精选优质文档-倾情为你奉上第4章 不定积分不定积分的概念和性质 【教学目的】:1. 理解原函数的概念;2. 理解不定积分的定义,及几何意义;3. 掌握不定积分的基本公式和性质;4. 会用直接积分法计算不定积分。【教学重点】:1. 原函数的概念;2. 不定积分的概念及几何意义;3. 不定积分的基本公式和性质。【教学难点】:1. 基本积分公式;2. 用直接积分法计算不定积分。【教学时数】:2学时【教学过程】:4.1.1原函数与不定积分定义1 如果在区间I上,可导函数的导数为,即或(),那么函数就称为(或)在区间I上的原函数如果有一个原函数,那么就有无穷多个原函数设是的另一个原函数,则任意的,有于是所以(为某个常数)这表明与只差一个常数因此当为任意常数时,表达式 就可以表示的全体原函数,也就是说,的全体原函数所组成的集合,即函数族定义2 如果是在某区间上的一个原函数,那么(为任意常数)称为在该区间上的不定积分即=其中符号称为积分号,称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变量由上面的讨论可知,若是的一个原函数,那么=(为任意常数)因此,求函数的不定积分,只需求出被积函数的一个原函数再加上积分常
2、数,求不定积分的方法称为积分法 从不定积分的定义,即可知不定积分与微分(求导)互为逆运算:由于是的原函数,所以或又由于是的原函数,所以由此可见微分运算(以记号表示)与求不定积分的运算(简称积分运算以记号表示)是互逆的,记号与一起时或者抵消,或者抵消后差一常数例3 求解 当时,由于,所以是在内的一个原函数,因此在内,有 当时,由于,所以是在内的一个原函数,因此在内 把以上结果综合起来,得 4.1.2不定积分的几何意义因为不定积分=是的原函数的一般表达式,所以它对应的图形是一族积分曲线,称它为积分曲线族积分曲线族有如下特点:(1)积分曲线族中任意一条积分曲线都可以由曲线沿轴方向上、下平移得到;(2)由于,即横坐标相同的点处,所有曲线的切线都是互相平行的4.1.3基本积分公式表(1) (为常数); (2) ;(3); (4),;(5); (6);(7);(8);(9); (10);(11); (12)4.1.4不定积分的性质性质1 设函数的原函数存在,则性质2 设函数的原函数存在, 为非零常数,则例6 求解 注意到被积函数中是幂函数,和是指数函数,而是常数,它们的积分公式是不同的【教学小节】:通过本节的学习,理解原函数、不定积分的概念及几何意义,熟记基本积分公式,掌握不定积分性质并学会使用直接积分法计算不定积分。【课后作业】:无专心-专注-专业
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