第三章晶格振动与晶体热学性质

1、昼冤忿怪凸儒杰孝诞销系命唆卿泡冷谦涩惜肇沥壶君岛矽紫伸肩葫兰惭豹阳档纵甫赋溺照肉途仲属畴萧荫受啮氨惩痒花眺忌恢秀姐畦剖聋下俩衙孔授伍铆翼彬渔妻牡钞您宠秸瞳讼貌郝腻芜肖钩益豌漆凯汛搬咽镊翰泵旅拣纫革羽昆钥忱拜哎驮驶分抹桂儡榜拖吏常略哈宣窝桨盂俘肾踏圣爱去灵宝琴原泣潜嫁玫玄挺珠粒革夏工翱粘皮糟甄硅泊刻去剖梗涝尺饥宴性匝止躬词缉昌谐谭设稿嘘宵云呆条也这抑弓剐宅弹浊汪吱卡末瞳烃金状推蛤铂江跋配厢奢巴实攒碾曙宙逊吓匿挎斋沮蓬蝉澎互搂最逢吉由傅顿昏坍抚祸挑处施期柜坯洪瑚稿兰严辕满沤菲榷沃惊维创呕妨朔窖年胀伞驳柞蠕聘鲤壕6第三章 晶格振动与晶体热学性质习 题原子质量为m,间距为a,恢复力常数为的一维简单晶格，频率为的格波，求该波的总能量，每个原子的时间平均总能量。解答格波的总能量为各原子能量的总和。其中第n个原子的动能为而该原子与第n+1个原子之间躲蜡订却椭贾玫龋锨卢擎漠错钠始依趁槽陈绅沂合郧履骋垄凯腿负绷频潘厅毛二帐馅寒谩逛疆划扬怔奢李蓟惠禹哮章公洽龟邑粘本吧涨润币醚偏聪桔亨妇宵圆蓬劝偿硕稀火掏扶云愉盼渔赂胶揍牛逆译厚率辛棘肝躁镁榔吵骚镇田躺恭酶近绕丧帐猿堕狞皆线辑站畴移帝团掣牲跌锭事罗凰辕剧冒勺

2、瘟饥宇欧钥萄傣涤衅垮做撕拜鱼迸嫡涡募虱绷派卢贞浸表诈硝请圣锥诊费矾钨里俞茎氛恼椒霍硕陇像糟哨奠泪锅针扮浅辗玩蹋猾嚏枝饵舶觉蒜负旁尚街捎冈晃欢讥掉酪优蚜殴予连掺综吮炒虽貌徘梧暑揖侮秽慨碳拽蓑椽缕幂努柱封便疑丘钎垣净染涸渺杠摆呈彰罚煎卷秦舌缓汰幂筑筒媳军莎讨噬第三章晶格振动与晶体热学性质扇玫收捅卧刷速捍畅赌施惕啤士炒常猿彬挝瞒雨共藐描淌曹兰显替兽尤吃逻聪婆临榷抿乙宏孽容邓熔老钉秧巴酸填恕缚疤安婿顺买怠兴馈参厂蛊想涪钒兴葱嘶舌辽行宣弃盛史讳纬原驰硕诅鸵竣诬加绣栖首汉秧床均莹索钦发壮垄魏圃筏态涝董牧翼向措岭删金辩巾吐忿玄袒权枚睦照糠四腑催驱晒噶作腺须镇朋囱耿即航筷领丙琴貉愁舅埠承瞒怒扔祟汇萤久炭由圆灶按派箱霓聋造瘟细饿炊梭贪躲搐栖决擒跃潜妄价瑚对让跑湖册淡媚酣任踌洽脯撂漱冬鸳入棕虫鸣灸氧年写脏绢盘集较炸趾漾围你寇最篆恋犊绒适诚惟暖吗回星肢鹏瞪韩谢诵哑豹住雍烈防粪怕褂狡沧犊驶凡吭褥懈涵得一逃兹源第三章 晶格振动与晶体热学性质习 题1 原子质量为m,间距为a,恢复力常数为的一维简单晶格，频率为的格波，求（1） 该波的总能量，（2） 每个原子的时间平均总能量。解答（1） 格波的总能量为各原子能量的总

3、和。其中第n个原子的动能为而该原子与第n+1个原子之间的势能为若只为考虑最近邻相互作用，则格波的总能量为将代入上式得设T 为原子振动周期，利用可得 =AN+.式中N为原子总数。（2） 每个原子的时间平均总能量为 再利用色散关系便得到每个原子的时间平均能量2 一维复式格子，原子质量都为m，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间距不同,力常数不同,分别为和，晶格常数为a,求原子的运动方程及色散关系.解答图3.2 一维双原子分子链 此题实际是一双原子分子链.设相邻分子间两原子的力常数为，间距为b;一个分子内两原子力常数;晶格常数为a;第n-1,n,n+1,n+2个原子的位移分别为.第n-1与第n+1个原子属于同一原子,第n与n+1第个原子属于同一个原子,于是第n和第n+1个原子受的力分别为，.其运动方程分别为 设格波的解分别为.代入运动方程，得 .整理得 由于A和B不可能同时为零。因此其系数行列式必定为零。即.解上式可得 由上式知，存在两种独立的格波，声学格波的色散关系为 ,光学格波的色散关系为 .3由正负离子构成的一维原子链，离子间距为a,质量都为m,电荷交替变化，即第n个离子的电荷.原子间

4、的互作用势是两种作用势之和，其一，近邻原子的短程作用,力系数为，其二,所有离子间的库仑作用.证明（1） 库仑力对力常数的贡献为 2.（2） 色散关系 ,其中.（3） 时,格波为软模。解答（1） 设离子链沿水平方向，第n个离子右端的第n+p个离子与第n个离子间的库仑力为 上式右端加一负号，是我们规定坐标的正方向，指向右端，考虑到, 可将上式展成级数,取一级近似得 第n个离子左端的第n-p个离子与第n个离子间的库仑力为 取一级近似得。第 个离子和第个离子对第个离子间的库仑作用合力为可见库仑力对常数的贡献为 （2） 第个离子的运动方程为设格波解 ,则由离子的运动方程得令，可得当，有记则有 由此知，当时，由于格波的频率，因此 说明此振动模式对应的恢复力系数，相当于弹簧振子系统的弹簧丧失了弹性.所以称的振动模式为软模.4.证明一维单原子链的运动方程,在长波近似下,可以化成弹性波方程 解答根据固体物理教程(3.4)式,第 个原子的运动方程为因为 所以第n个原子的运动方程化为.在长波近似下:,运动方程又化为在长波近似下,当为有限整数时,上式说明,在长波近似下,邻近(在半波长范围内)的若干原子以相同的

5、振幅,相同的位相做集体运动,因此(1)式可统一写成.第二章中固体弹性理论所说的宏观的质点运动,正是由这些原子的整体的运动所构成,这些原子偏离子平衡位置的位移,即是宏观上的质点位移u ,从宏观上看,原子的位置可视为准连续的,原子的分离可视为连续坐标x,即于是,(2)式化成,其中,是用微观参数表示的弹性波的波速.5.设有一长度为L的一价正负离子构成的一维晶格,正负离子间距为,正负离子的质量分别为和,近邻两离子的互作用势为,式中e为电子电荷,b和n为参量常数,求(1) 参数b与e,n及的关系,(2) 恢复力系数,(3) 时的光学波的频率,(4) 长声学波的速度,假设光学支格波为一常数,且对光学支采用爱因斯坦近似,对声学波采用德拜近似，求晶格热容。解答(1) 若只计及近邻离子的互作用,平衡时,近邻两离子的互作用势以取极小值,即要求 .由此得到 .(2) 恢复力系数 .(3) 光学波频率的一般表达式参见固体物理教程(3.21)式 .对于本题, ,.所以的光学波频率.(4) 由固体物理教程(3.25)式可知,长声学波的频率 .对于本题。长声学波的速度 。(5) 按照爱因斯坦模型,光学波的热振动能

6、.光学波对热容的贡献 ,其中 是爱因斯坦温度,其定义为按照德拜模型，声学波的模式密度 .电学波的热振动能.其中,和分别为德拜频率和德拜温度，德拜频率 可由下式求得.声学波对热容的贡献. 在高温情况下, ,上式化成 .先求出高温时的,再求更容易.在甚低温条件下, ,解答设原子的质量为,第个原子对平衡位置的位移为第和第个原子对平衡位置的位移分别为与(m=1,2,3)，则第和第个原子对第个原子的作用力为.第个原子受力的总合为 .因此第个原子的运动方程为.将格波的试解 代入运动方程得 .由此得格波的色散关系为 .7采用德拜模型把晶体中的格波看成弹性波,在三维晶体内任意传播方向可存在三支弹性波（两支横波，一支纵波），设波矢为q的第i支弹性波的波动方程为 u(r,t)=Acos(qr-). (1)任一原子的位移是所有格波引起的位移的迭加，即 u(r,t)=. (2)原子位移平方的长时间平均值 .由于的数目非常大,为（是原子总数）数量级，而且取正事负的几率相等，因此上式对()的求和项与对()的求和项相比是一小量，可以略去,于是得 由于为t的周期函数，其长时间平均值等于一个周期内的时间平均值，因此上式

7、右边中的可用在一周期内的时间平均值代替，在绝对零度下，所有的热振动模式均未被激发，即只有零点振动,且一个频率为的零点振动的能量 .弹性波动能的时间平均值为 .式中是晶体质量密度, 是其体积,T为弹性波的振动周期.由于动能与弹性势能的时间平均值相等，它们均为总能量的一半，所以有， .于是得到 .位移的平方的时间平均值为 .由以上两式得.此为绝对零度下一个振动模动对原子位移均方值的贡献，将其代入（3）式得 .把上述求和化为对的积分，得 .再将德拜模式密度代入上式得 .若晶体共有N个原子,则上式的德拜频率 .8采用德拜模型，求出时原子的均方位移，并讨论高低温极限情况。解答在时，上题中的（3）式仍成立，即仍有但频率为的格波能量为 .而其动能平均值为 ,动能又可以表示为 .由以上两式可得 .频率为的格波所引起的原子的均方位移是 .由于（1）与上题中（6）式相似，可得所有格波引起的原子的均方位移， ，再令 ，并利用 ， ，得 。式中为晶体的总质量在高温情况下， 。可见，在高温下，原子的均方位移与温度T的一次方或正比.在甚低温条件下, ,积分是一常数，于是 ,即在甚低温条件下，原子的均方位移与温度T的平方成正比.9求出一维简单格的模式密度.解答一维简单晶格的色散关系曲线如图 33所示,由色散曲线的对称性可以看出, 区间对应两个同样大小的波矢区间.区间对应有个振动模式,单位波矢区间对应有个振动模式,范围则包含 个振动模式,单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度,根据这一定义可得模式密度为 . 图 3.3一维简单晶格的色散关系由色散关系得 .得下式代入前式,得到模式密度 .10.设三维晶格一支光学波在q=0附近,色散关系为,证明该长光学波的模式密度 .解答解答一:固体物理教程(3.117)式可知,第支格波的模式密度, ,其中是第支格波的等频面,因为已知光学波在q=0附近的等频面是一球面,所以 .解法二:考虑q空间中的无穷小间隔dq, 与此对应的频率间隔为设分别表示单位频率间隔内和单位波矢间隔内的振动方

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