3正定二次型与正定矩阵习题评讲

1、5 - 3正定二次型与正定矩阵习题评讲1 2、如果A、B为同阶正定矩阵，证明：A+B为正定矩阵。证明1:因为A、B是n阶实对称矩阵，故A+B也是n阶实对称矩阵。因为A、B为n阶正定矩阵，所以实二次型f (x - X2,，x n)=XAX和g (x 1, X2,，x n) = X T B X都是正定二次型。实二次型h (x 1 , x 、_ T , ._ 、T .T _ _，、2,，x n) =X (A+B) X = X AX + X BX=f (x i , X2,，x n) + g (x 1, X2,，X n)。所以对任意不全为零的实数C为 f (C 1, C 2 ,，c n) 0, g (C 1, C 2 ,，c n) 0,从而有h (Cl, C 2 ,，C n) = f (C 1, C 2 ,，Cn) + g (C 1, C 2 ,，C n) 0,所以实一次型h (x 1, X 2,，X n) =X (A+B) X正定，从而A + B是正定矩阵。证明2:因为A、B是n阶实对称矩阵，故A+B也是n阶实对称矩阵。因为A、B为n阶正定矩阵，所以对任意n维非零实列向量X,都有_ T .一_

2、 T _ _Xo AXoO; X 0 BXoO;_ T , ._ 、_ T ._ T _ _Xo (A+B)X o= Xo AXo + Xo BXoO, 所以A+B是正定矩阵。P 2 6 3 总自测题证明题(2 )设n维列向量 a与任何n维向量都正交，证明： a = 0。证明：设a=(ai, a2,，an),取n维单位向量ej = (0,，0, 1, 0,， 0), j = l,noW( ”，)=，_ = 1,2,，,11,所以 a =0。8、判别下列实对称矩阵是否为正定矩阵:(1)1112-1121 ;(2)-12111_1-1-1-1 ； (3)212-11解(1) ： A= 1：1A 3 = A = 0 , A不是正定1 12 1是实对称矩阵，第三个顺序主子式1 1矩阵。解（2）2-1 -1A= -12-1是实对称矩阵，第三个顺序主子式；1 -12 -2-1 -1A3=A=121-1 -12解（3 ）:实对称矩阵A =1222212-1- 2000-12-1=0,A不是正定矩阵。-1-121.212所有顺序主子式为:5J40;4 -1-1= 3o4所以A是正定矩阵。9、确定参数入

3、的值，使下列二次型正定：（1） 5x 1 + x2 +入 X3 +4x 1X2 2 x 1X3 2x2X3；（2） 2x 1 + x2 +3x 3 + 2 入 xixz+2x 1X3。一52-11解（1）:实二次型f的矩阵为人=21 -1 , A的顺序主子式为:一1 及一5.5 2.Ai = 50;A 2 =102 11012 1-110-152-1A3=21-111九11一=入一2 o1 1 -1f 正定 u A正定 = A 3 0 y 入 一2 0 u 入 2。解(2):二次型f的矩阵为人=10 , A的各阶顺序主子式为:=-3-5-53九vi2+2bxy+cy1 0、设有二次曲线方程a x曲线为一椭圆；当b 2 a c时，曲线为一双曲线。 证明：对二次曲线方程a x2=1 ( a 0 )。证明：当b 2 V a c时,对应的实二次型为：f2 .-+2bxy+cyx , y ) = a x.2/ 、bxy + cy (a0),f的矩阵为人=a b,b c,A是头对称矩阵，且 A = ac b o c对实二次型f (x, y),存在正交变换X=PY (P是正交矩阵)化为标准形：f (

4、x, y)=入ix+入2y,其中入i,入2是A的特征值。这个正交变换，化二次曲线ax,+2bxy + cy 2 = 1 (a0)为如下形式：22入 1 X +入 2 y =1该二次曲线是椭圆 U入1,入2都是正数U f (x, y)正定 U A的所有顺序 主子式都大于零 U Ai = a0, A 2 = A= acb20 U b,Vac。该二次曲线是双曲线 U入i ,入2 一个是正数，另一个是负数 U入1入2 V 0。因 为入1入2= A = acb2,所以该二次曲线是双曲线 u ac - b2 v 0仁 ac 0(i = l,2,，n)。 证明：令 ej=(O，0, 1, 0 , , 0) T, j = l, 2,，n。有e j A e j = a j j , J = 1 , 2 ,，n。因为A= (a ij)是n阶正定矩阵，对任意n维非零实列向量X,都有X AX0 ,特别对X= J结论也成立，所以a J J 0 , j = 1 , 2 , no1 3、利用定理5. 3的推论2证明：实对称矩阵A正定的充要条件是存在可逆矩阵M,使得A = M TMo证明：必要性：如果A正定，则存在可逆

5、矩阵C,使C TAC=E,于是，A=(C,) ECT=(cT)%一。令M=C 1 ,则M是可逆矩阵，使 一 一 T 一 一 A = M Mo、,.一 一 一、-一 T T充分性：如果A是实对称矩阵，且存在可逆矩阵M,使A = MM,即A = M EM,所以(M I TaM- = E,即(M T) AmT = E,其中M -是可逆矩阵，故 A与E合同，从而A正定。14、如果矩阵A正定， 且存在可逆矩阵C, 使得CTAC = B。证明：矩阵B是正定矩阵。 证明1 :因为A正定，所以A是实对称矩阵。又因为存在可逆矩阵C,使得C T AC = B ,故B也是实对称矩阵。因为A正定，所以存在可逆矩阵M,使A = MTM,于是有B = C T AC = C TMTMC= (MC) ,(MC),其中MC是可逆矩阵，于是B是 正定矩阵。证明2:当B = C TAC C可逆时，由A是实对称矩阵知，B也是实对称矩阵。对每一个非零列向量X,有CX是非零列向量，且A是正定矩阵，所以 TT,T、, 、T ,、X B X = X (C AC) X= (CX) A (CX) 0, 所以B是正交矩阵。P 2 1 7

6、第五章自测题2、单选题(2) (2)二次型f=X T AX (A为实对称矩阵)正定的一个充要条件是()。(A) det (A) 0;必要不充分(B)存在可逆矩阵C,使得C丁 AC成为对角矩阵；所有实对称矩阵的共性(C) A可逆；必要不充分(D)存在可逆矩阵M,使得A = M 解：选D。a b(5 )已知矩阵人=I 正定，k1b c 一(A)不是对称矩阵；(C)必是正交矩阵；解：显然B是实方阵。已知MoP 2 1 6 , 1 3 题1和k 2都是正常数，则矩阵B= /1a k1k22bl Rkib k2 ca b,bl 正th,顺序方子式 a = a o ,cb 0 o因为k 1和k 2都是正常数,c(B)是正定矩阵； (D)是奇异矩阵。B的顺序主子式： Ai = ki a=ki2a0,k12ak2 k1bk1k2 bk 2ck 2 Ckia k2b kik2k1bk2c2 2 a b_ _.、， 一、“k1k2o, b是正定矩阵。选(B)。b cx 2 2 x iX3正定，求实数t的3、计算题(3 )若二次型f = 2 x2 /2 .,2。i + 6x 2 + tX3 - 2x取值范围

7、。解：实二次型f的矩阵为人=2-1 -1-160,A的顺序主子式为:10t一2-1-1A 3 =-160-10t2-1 -1110-6-10t11 -6-1 t6=1 1 t 6 o f 正 te 仁 A 正 te U lit 60 u t 一。11一1(4)设矩阵A= 0L0-10 10-28 ，试判别二次型f=X03(A TA) X是否正定？其中X=(X1,X2,X3) o解1 ： A = 6 w 0 , A是可逆矩阵，而B = A,A是实对称矩阵，据2 1 6页1 3题知，B是正定矩阵，从而f是正定二次型。解2: A = 6W0, A是可逆矩阵，对任意3维非零实列向量X, A X也是3维非零实列向量，且有T,T、, TT、， 、, 、T ,、I I 2f=X (A A) X= (X A ) (AX) = (AX) (AX) = | AX| 0,所以f是正定二次型。4、证明题(2 )设A是正定矩阵，证明A2也是正定矩阵。证明1 :因为正定矩阵A是实对称矩阵，(A b t= (A ,)2 = A 2, A 2也是实对称矩阵。正定矩阵A是可逆矩阵，由A =AA = AEA = A EA得,A 与E合同，故 A 2也是正定矩阵。证明2:因为正定矩阵A是实对称矩阵，(A b t= (A ,)2 = A 2, A 2也是实对称矩阵。正定矩阵A是可逆矩阵，由A 2 = AA = A tA,据1 3题结论知A 2也是正定矩 阵。证明3:因为正定矩阵A是实对称矩阵，(A b t= (A ,)2 = A 2, A 2也是实对称矩阵。正定矩阵A是可逆矩阵，且A t=A,对任意非零实列向量X, A X也是非零实列向量，且,T2TTTT、,T.f (X)=X A X = X (A A)X= (X A ) (AX)= (AX) (AX)2=I AX| 0,所以f (X)是正定二次型，从而A是正7E矩阵。P 2 1 9 总自测题1、填空题(10)若矩阵A =2 0 00 2 2正定，则t的取值范围是：0 2 J解：实对称矩阵A的顺序主子式为:.2 0.Ai=20, A 2 =40,0 2200A 3=02202t2 000 22 = 4 (t 2);0 0 t -2A 正定 U t 20 U

《3正定二次型与正定矩阵习题评讲》由会员大米分享，可在线阅读，更多相关《3正定二次型与正定矩阵习题评讲》请在金锄头文库上搜索。