1.3.1 三角函数的周期性3

1、三角函数周期性的教学设计【教材分析】在这一章的学习中，三角函数的定义是研究三角函数的基础，单位圆中的三角函数线是研究三角函数的重要工具本节内容是1、3三角函数的图像和性质的第一节，主要内容是周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性前面已经学习了二节内容，第一大节是任意角、弧度制，第二大节是任意角的三角函数，后面将要研究学习三角函数的图像和性质，这就需要应用周期性来简化函数图象的作图，可见三角函数的周期性是研究三角函数图象与性质的基石，为后面的学习起到了铺垫作用【设计思路】 本节课的教学设计从自然界的周期现象出发，从具体问题出发，以问题为背景，突出“建立刻画周期性现象的数学模型”，按照“问题情境建立模型解释、应用与拓展”的程序，让学生经历数学建模的过程，同时，在教学中关注以下两点:1、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，在教学中从“周而复始的重复出现”出发，通过实际模型一步步使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”“函数值就重复出现”等逐步抽象出函数周期性的定义，体会三角函数是刻画周期函数的重要模型2、注重三角函数模型的运用，及运用

2、三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期震荡现象）解决一些实际问题，同时还要提醒学生重视学科之间的联系与综合，在学习相关内容时，注意运用三角函数来分析和理解，进一步培养学生提出问题和解决问题的能力、数学表达和数学交流的能力，发展学生的应用意识和创新意识，进一步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值【教学目标】1.了解周期函数的概念，会判断简单函数的周期性，会求简单三角函数的周期；2.利用合作学习的方式，通过学生的相互交流，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质及学生团结协作的精神与学习数学的兴趣，提高学生的分析问题与解决问题的能力；3.学会运用联系的观点认识事物，理解未知转化为已知的数学方法，使学生了解数学是人类文化的重要组成部分，了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观【教学重点、难点】重点：周期函数的概念、正弦函数、余弦函数的周期性、计算公式及应用难点：周期函数概念的理解及最小正周期的意义【学法、教法与教具】学法：数学来源于生活，又指导于生活在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，繁殖周期现象的存在并在此基础上学

3、习周期性的定义，再应用于实践教法：探究教学法、合作教学法、教具：实物、视频、图片、投影仪教学过程师生互动设计意图一、问题情境情境1：（诗词欣赏）“离离原上草，一岁一枯荣，野火烧不尽，春风吹又生”；情境2：（课件演示）转动的摩天轮；情境3：（实物展示）弹簧振子问题1上面的几个例子有什么共同特征呢？生：周而复始、循环、重复出现师：说的很好，这些都是按照一定的规律周而复始、循环、重复出现，我们把这种现象叫做周期性现象，你们还能在举一些例子吗？（教师先引导学生分析后，让学生找出生活中周而复始的现象，体验生活中的周期性现象如：“日出日落”，“月亮的阴晴圆缺”，“潮汐”现象、季节、月、周、天体运动等）追问：（趣味数学）今天是星期几？100天后呢？师：数学中也有很多这样的例子，如：我们为什么只需要排出一个星期的课表，而不是按照日期排出每天的课表？1.利用多媒体和实物展示引入3个问题情境，让学生感受到周而复始、循环、重复出现的感觉，使学生感受周期性现象的广泛存在，认识周期性现象的变化规律而情境2与3又成为本节课自始至终的研究对象，充分体现数学来源于生活，又应用于生活2.追问的目的是激发学生的探究欲和求

4、知欲，让学生体会到如何由实际问题抽象出数学问题二、学生活动探究活动1通过情境2提出问题：点P自点A起绕圆周按逆时针方向进行匀速运动.如图 设圆的半径为1，每4分钟运动一周.设P到A的距离为y，运动时间为t，则y是t的函数，记为.师：P点的运动是周期运动吗？生：是（引导学生讨论得到下列结论）P在A点位置：f (0)= f (4) =f (8)= f (12) =0（强调每隔4分钟后函数值就相等）那么P在B点位置呢？f (2)= f (6) =f (10)= f (14) =2师：P在任一点位置呢？生：一般地，点P运行x分钟到达的位置与运行( x4)分钟到达的位置相同师：由此能得到怎样的数学表达式？生：f (x)= f (x+4)师：若点P按顺时针方向运动呢？生：f (x)= f (x-4)师：若T分钟运动一周呢？生：f (x)= f (x+ T)问题2如何用数学语言来刻画函数的周期性现象呢？1.通过点的圆周运动这一模型将自然现象数学化，经过问题的巧妙设置和师生的共同讨论，找到周期函数的数学特征，并采用从特殊到一般的方法，引导学生归纳出周期函数的概念2.把运动、变化的数学对象突出出来，让学

5、生在充分的形象和表象支持下来发现函数的周期特征，感受观察、比较、分析、综合、抽象、概括的思维过程有利于学生揭示数学本质、掌握周期的概念3问题情境与探究活动独具匠心，课堂的情境与问题、学生的情绪与思维相辅相成，互相助益，有助于教学过程完整而流畅，使课堂充满了兴趣、思维、情感和价值认同等核心素养的元素三、数学建构1.周期函数的定义：一般地，对于函数，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期问题3请你谈一谈对周期函数定义的理解（给学生一定时间进行讨论，并根据讨论的情况提出引导学生思考一个周期函数的周期有多少个？）2.最小正周期的定义：若一个周期函数中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做这个函数的最小正周期（一般称为周期），说明：今后如果不加特别说明，一般都指函数的最小正周期.问题4正弦函数是周期函数吗？（给学生一定时间进行讨论，并根据讨论的情况提出预设问题链）（给学生一定时间进行讨论，引导学生回忆函数的单调性与奇偶性，并根据讨论的情况提出预设问题链）问题2-1常数T有什么要求？问题2-2在活动1中，我们也发现f (1

6、)= f (1+2)，那么能说明周期T=2吗？生：通过对上面问题的讨论我们知道f (x)= f (x+4)= f (x+8)= f (x+12)= 因此可以认为4，8，12都是它的周期小结： 常数T不为0； x必须是定义域内的任一值，满足f (x)= f (x+T)； T 为函数的周期，则kT（kZ且k0）为函数的周期思考1是不是所有的周期函数都有最小的正周期？思考2周期函数的图象具有什么特征？1探究学习具有自主性、过程性、实践性、开放性等因此在探究中注重学生的主体地位，老师的重心不是老师的教而是学生的学问题3的提出是开放的，对答案没有限制，也没有刻意指示学生怎么探究在学生讨论、质疑、交流、反思、探究等认识和实践活动中，我估计会产生一些非预设的问题，特别是探究的方向、方式、进程等过程性思维也会与我的预设大相径庭因此，我会充分关注学生课堂生成的特点，给学生的探究活动保留足够的自由时间，顺势而为，动态调整，使教学预设随课堂进程不断地改变和重建，保证个体知识的自主建构和逐步完善2在研究函数的周期性时和同学复习函数的奇偶性，充分调动、引导学生将新旧知识有机融合，对学生理解和掌握周期函数的概念是

7、有益的3对于定义的理解采用了问题链（预设）的形式引导学生合作探究，培养学生大胆猜想，敢于发表个人见解，学生在问题链的驱使下一步一步的探索解决问题的办法，提高演绎推理能力，学会合作、探究问题探究活动2（几何画板）观察三角函数线的变化规律3.三角函数的周期正弦函数、余弦函数和正切函数的这种性质叫三角函数的周期性师：能否找到非零常数T，使sin(x)= sin(x+T)成立？生：通过前面三角函数线的学习，我们知道，正弦函数值的变化是有规律不断重复出现的；每当角增加或减少2时，所得角的终边与原来角的终边相同，因而两角的正弦函数值也相同，即有sin(x)= sin(x+2)发现：（1）正弦函数值是有规律不断重复出现的；（2）规律是：每隔2重复出现一次；（3）这个规律由诱导公式也可以说明：sin(x+2k)= sinx问题4-1余弦函数y=cosx是周期函数吗？若是，周期是多少？问题4-2正切函数y=tanx呢？这就是今天研究的课题：三角函数的周期性（学生总结三角函数的周期性并完成小结）1.在图形上让学生观察正弦函数线“周而复始”的变化规律；在代数式上让学生思考诱导公式：sin(x+2k)= si

8、nx又是怎样反映函数值的“周而复始” 的变化规律的同时这种代数式的认识也为后面例2的研究做了很好的铺垫2.学生在用日常用语叙述这个公式时，通过对函数图像、解析式的特点的描述，使学生在理解周期性的基础上，进而理解“周而复始”变化的代数刻画，由此引出三角函数的周期性3.本节课共设计了4个问题与3组探究活动以问题驱动学生的思维活动，通过独立思考、小组讨论、代表发言、师生对话的形式展开探究教学，体现了课堂学习的过程性、探究性、参与性、主动性4.通过“问题链”形式进行教学深入浅出、融会贯通所设计的4个问题，紧扣本节课的主题，层次分明，条理清晰，符合循序渐进的教学原则而在课堂教学过程中，并不满足学生答对问题，而是通过追问，检查学生的思考状况，了解学生的理解程度，捕捉可能出现的疑惑，及时的矫正四、数学运用例1回忆情境3中的实验：若弹簧振子对平衡位置的位移与时间之间的函数关系如图所示：（1） 求该函数的周期；（2） 求时弹簧振子对平衡位置的位移例2求下列函数的周期1）2）3）引导学生观察图像的两个相邻的最高点、最低点，从而求出周期，并利用周期为4将时弹簧振子对平衡位置的位移转化为求时弹簧振子对平衡位置的位移师：熟悉的函数可以借助于图像，我们可以直观地观察出函数的周期性，从而求出函数的周期，但是对于我们不熟悉的函数，我们怎样判断函数是否具有周期性呢？探究活动3求函数及（其中为常数，且）的周期1.这节课的情境贯穿于整个课堂，支持了丰富的问题和探究的积极性用情境3作为例1使整个教学过程充满了生机和活力，学生易产生共鸣和期待例题来源于生活，贴近生活，又立足于数学，拉近了学生与数学的距离，产生了良好的情感2.例2也是本节课的一个难点，在本题的解答过程中，我们用到了处理问题的常用一中手段（整体换元），将比较复杂、陌生的问题转化为我们熟悉的问题加以解决，同时通过题组训练的形式，使学生更容易归纳出一般的结论3.前两个问是为了第3个小问做的铺垫，使学生更容易掌握研究函数周期的方法，讲评是要强调函数的周期是针对自变量x而言五、课堂练习P25-1,P26-2,3通过题目的训练巩固本节所学习的内容，检查学生的掌握情况六、课堂小结这节课你学到了什么？请谈谈你的收获.1.知识内容：2.问题解决：3.数学思想和方法：引导学生按照下面的思路

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