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用matlab实现DFTFFT

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卖家[上传人]：鲁**

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常见问题

1、用 matlab 实现 DFT FFT目录实验目的2实验内容21. 用 MATLAB实现 DFT22. 用 MATLAB实现 FFT，分析有限离散序列的FFT33. 通过分别计算时间，得出DFT与 FFT 的算法差异7实验原理71.离散傅里叶变换的快速算法FFT72. FFT 提高运算速度的原理83.理论分析DFT与 FFT 算法差异10实验步骤11实验结果11实验分析21实验结论25实验体会261实验目的1. 通过研究 DFT,FFT 性质，用语言实现 DFT, FFT 。不使用 MATLAB现有的 FFT 函数，自己编写具体算法。2. 掌握 FFT 基 2 时间抽选法，理解其提高减少乘法运算次数提高运算速度的原理。3. 设计实验，得出 DFT和 FFT算法差异的证明，如复杂度等 ( 精度、不同长度的序列等）。实验内容1.用 MATLAB实现 DFTN点序列 x(n)的 DFT为：?-1()= ( )nk0 k N - 1X kx nWN?=0DFT的矩阵为：根据 DFT公式与矩阵展开，通过MATLAB实现 DFT：22. 用 Matlab 实现 FFT编程思想及程序框图：原位计

2、算因为 DIT-FFT 与 DIF-FFT 的算法类似，这里我们以 DIT-FFT 为例。 N=2M点的 FFT 共进行 M级运算，且每一级都由 N/2 个蝶形运算组成，后一级的节点数据由前一级同处一条水平线位置的节点数据产生，所以我们同样可以将后一级的节点数据储存到前一级的节点中，这样的方法叫做原位计算，它大大节省了内存资源，降低了成本，简化了运算。序列的倒序无论是进行 DIT-FFT 还是 DIF-FFT 都需要进行倒序，包括输入倒序与输出倒序，以一定的方式将数组进行重新排列。倒序的方法：首先由于 N=2M, 我们就可以用 M位二进制数来表示节点的顺序，并且按照奇偶时域抽取。然后，如图 1 所示，第一次按最低位 n0 的 0、1 值分解为奇偶组，第二次按次低位 n1 的 0、1 值分解为奇偶组，以此类推。最后，所得二进制数所对应的十进制数即为序列倒序后产生的序列。图 1 序列倒序过程倒序的 MATLAB方法：用雷德算法可以对输入信号序列进行倒序重排，流程图如下所示：3蝴蝶因子的变化规律在 DIT-FFT 中，每一级都由 N/2 个蝶形运算构成，每个蝶形运算包含一个蝴蝶

3、因子，每一级的蝶形因子又有一定的变化规律：设 L 表示自左而右的运算级次（ L=1,2,3, ,M），序数 R，次数 K。每个蝶形运算的两个输入量相距 B=2(L-1) 个点。假设 N=8，则 M=3，这时有：L=1 时， B=1 ， S=N/2 ， R=0 ， K=1: N/2则有 P=(K-1)*1，所以WNP =WNJ， J=0,1,2,3L=2 时， B=2 ， S=N/4 ， R=0: N/2:N-1， K=1: N/4则有 P=(K-1)*2，所以WNP =WN/2J， J=0,2L=3 时， B=4 ， S=N/8 ， R=0: N/4:N-1， K=1: N/8则有 P=(K-1)*4，所以WNP =WN/4J， J=04所以对于一般情况N=2M ，第 L 级的旋转因子为P=(K-1)*B 。从而得到 DIT-FFT 的 Matlab 流程图：5DIT-FFT 的 MATLAB实现为（以对x(n)= cos( n 6) 进行 16 点的变化为例）：63. 通过分别计算时间，得出 DFT与 FFT 的算法差异：法一：对 N=512，1024，2048 和 4096 点的

4、离散时间信号x(n) ，用 Matlab 语言编程分别以DFT和 FFT 计算 N 个频率样值 X(k) ，比较两者所用时间的大小。设x(n)= cos( n6) 。利用 TIC,TOC 函数，分别跟踪变换时间。法二：利用 clock 返回当前日期向量的时间，通过 etime（）函数返回走过的日期向量的时间。用 MATLAB实现如下：实验原理1. 离散傅里叶变换的快速算法 FFTN点序列 x(n)的 DFT为：?-1X(k) = x(n)WNnk0 k N - 1?=02 由于系数WNnk = e-j N nk 是一个周期函数：n(N-k)k(N-n)= W-nkW= WNNN（ 1）（ 2）且是对称的：7WNnk +N/2= -W Nnk（ 3）快速傅里叶变换算法正是基于这样的基本思想而发展起来的，它的算法基本可以分称两大类：时间抽取法（ DIT-FFT）和频率抽取（ DIF-FFT）。由于 DIF-FFT 算法思想基本一致，只是划分方式略有差异，所以这里以DIT-FFT 算法为例进行说明。当 N 是 2 的整数次方时，称为基 2 的 FFT 算法。首先将序列 x(n)分解为两组，偶

5、数项为一组，奇数项为一组：()= x1(r)Nx 2rx( 2r +1) =x2 (r)r = 0,1, ，2 - 1(4)将 x1 (r) 和x 2(r) 分别进行 N/2 点的 DFT得X1 (k) 和X2 (k) ，且：X( k) =X1( k) + W kX2(k)NNr =0,1, ， N - 1 (5)=X1 ( k) - WNkX (+ k)X2(k)22重复这一过程，可得到x（n）的 FFT。2. FFT 提高运算速度的原理FFT 算法将长序列的 DFT分解为短序列的 DFT。N 点的 DFT先分解为 2 个 N/2 点的 DFT，每个 N/2 点的 DFT又分解为 N/4 点的 DFT，以此类推。最小变换的点数即所谓的 “基数”，这个基数是2 点的 DFT（又叫蝴蝶因子）。如公式（ 5）所示，对于X（ k）的计算可以分为两部分，因为在上下两个式子中都出现了X1 ( k ) 与 X2 (k) ，因此只需要一次复数乘法与两次复数加法即可分别得到N/2 点的 DFT，从而得到总的N点的 DFT。如图 2 所示。X1 ( k)X1 ( k ) + WNk X2 (k)WNkX2 (k)X1 (k ) - WNk X2 (k)图 2 DIT-FFT 蝴蝶因子下图为 DIT-FFT 与 DIF-FFT 蝴蝶因子的三种形式：8图 3 DIT-FFT 和 DIF-FFT 的蝴蝶因子(1) 原始形式；（ 2）简化形式；（ 3）优化形式下面以 8 点的 DIT-FFT 为例：图 4 8 点的 DIT-FFT对于 8 点的 FFT，我们需要M=log 2 8 =3 阶运算，每一阶有四个蝴蝶因子，在

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