各类微分方程的解法大全
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1、各类微分方程的解法1. 可分离变量的微分方程解法一般形式:g(y)dy=f(x)dx直接解得 / g(y)dy= / f(x)dx设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解2. 齐次方程解法一般形式:dy/dx= (y/x)令 u=y/x 贝U y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以 u+xdu/dx= (u),即 du/ (u)-u =dx/x 两端积分，得 jdu/ (u)-u = j dx/x最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解3. 一阶线性微分方程解法一般形式：dy/dx+P(x)y=Q(x)先令 Q(x)=0 则 dy/dx+P(x)y=0 解得 y=Ce P(x)dx ,再令 y=ue P(x)dx 代入原方程解得 u= j Q(x)e /Pdx+C,所以 y=e dx j Q(x)e 卩朋 dx+C即y=Ce j P(x)dx +e j叫j Q(x)e j嘶x dx为一阶线性微分方程的通解4. 可降阶的高阶微分方程解法 y =f(x)型的微分方程(n)y =f(x)y(n-1) = j f(x)dx+Cy
2、(n2) = j j f(x)dx+C 1 dx+C2依次类推,接连积分n次,便得方程ym =f(x)的含有n个任意常数的通解 y” =f(x,y )型的微分方程令 y =p则 y” =p,所以 p =f(x,p),再求解得 p= (x,C 1)即 dy/dx= (x,C 1),所以 y= j (x,C 1)dx+C2 y” =f(y,y )型的微分方程令 y =p则 y” =pdp/dy,所以 pdp/dy=f(y,p), 再求解得 p= (y,C 1)即 dy/dx= (y,C 1),即 dy/ (y,C i)=dx,所以 f dy/ (y,C i)=x+C25. 二阶常系数齐次线性微分方程解法2般形式:y ” +py +qy=O,特征方程r +pr+q=02特征方程r +pr+q=0的两根为r 1,r 2微分方程y” +py +qy=0的通解两个不相等的实根1,2r xr xy=Ce 1 +Ce 2两个相等的实根r1=r2r xy=(C1+C2x)e 1一对共轭复根 r 1= a +i B ,2=a -i Ba xy=e (C1cos B x+C2sin B x)6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法一般形式:y ” +py +qy=f(x)先求 y” +py +qy=O 的通解 yo(x),再求 y” +py +qy=f(x)的一个特解 y*(x)则y(x)=y o(x)+y*(x)即为微分方程y” +py +qy=f(x)的通解求y” +py +qy=f(x)特解的方法：入x , f(x)=P Mx)e型令y*=xkQx)e k按入不是特征方程的根，是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2再代入原方程，确定0x)的m+1个系数x f(x)=e Pi (x)cos 3x+Pn(x)sin 3 x型k 入x令y*=x eQh(x)cos 3 x+Rr(x)sin 3 x m=max i ,n I ,k按入+i 3不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1再代入原方程，分别确定Qm(x)和Rr(x)的m+1个系数
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