量子力学与统计物理习题解答(理论物理导论)北理工-李卫版
15页1、量子力学与统计物理习题解答第一章1. 一维运动粒子处于的状态,式中l0,求(1)归一化因子A;(2)粒子的几率密度;(3)粒子出现在何处的几率最大? 解:(1) 令 ,则 由归一化的定义 得 (2)粒子的几率密度 (3)在极值点,由一阶导数 可得方程 而方程的根 ; 即为极值点。几率密度在极值点的值 ;由于P(x)在区间(0,1/l)的一阶导数大于零,是升函数;在区间(1/l,)的一阶导数小于零,是减函数,故几率密度的最大值为,出现在处。2. 一维线性谐振子处于状态 (1)求归一化因子A; (2)求谐振子坐标小的平均值; (3)求谐振子势能的平均值。 解:(1) 由归一化的定义 得 (2) 因被积函数是奇函数,在对称区间上积分应为0,故 (3)将、代入,可得 是总能量的一半,由能量守恒定律可知动能平均值和势能平均值相等,也是总能量的一半。3设把宽为的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点,有试通过具体解定态薛定谔方程,证明势阱中粒子的波函数为粒子的能量为证明:势函数与时间无关,是定态问题。由于是无限深势阱,粒子不可能到达阱外,因此在阱外在阱内,波函数满足定态薛定谔方程上式可变形为令,则方
2、程化为该方程的通解为在边界上,波函数应满足连续性条件,即将通解代入有由此可得A和B不能同时为零,否则解无意义。,则必有,则必有由此可得方程的解为由归一化条件可知解得故在阱内的波函数为粒子的能量波函数的两个表达式还可统一为一个表达式书中例题与习题的不同是将坐标原点取在势阱的左边界上,其解为因此只要作坐标平移代换,将坐标原点移到势阱中心,立即可得到习题的结果。4带电荷q的一维谐振子在外电场E作用下运动,试证明粒子的能量和波函数分别为证明:势函数与时间无关,是定态问题。定态薛定谔方程为上式可改写为即作代换,则方程化为标准的一维谐振子方程其解为能量为代换回去得能量波函数我们看一下谐振子所受的力由F=0可知谐振子的平衡点不再是而是平移到作代换,无非是将坐标原点移到新的平衡点,移到新的平衡点后,与标准谐振子的力函数表达式完全相同。5有一维势垒如下图所示,自由粒子沿方向向势垒运动,求粒子的透射系数D。提示:写出表达式;令,解出积分限b;利用(2-104)式得D,并注意简化运算。U0U(x)0axbE解:由可得故6粒子在三维无限深势阱中运动,求粒子的波函数和能量。解:势能不含时间是定态问题。在阱外,波
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